Question

12．如图所示．两形状完全相同的平板A．B置于光滑水平面上．质量分别为m和2m，平板B的右端固定一轻质弹簧，P点为弹簧的原长位，P点到平板B左端点Q的距离为L．物块C置于平板A的最右端，质量为m且可视为质点，平板A，物块C以相同速度v₀向右运动，与静止平板B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后平板A、B粘连在一起，物块C滑上平板B，运动至P点开始压缩弹簧，后被弹回并相对于平板B静止在其左端Q点．弹簧始终在弹性限度内，平板B的P点右侧部分为光滑面，P点左侧部分为粗糙面，物块C与平板B粗糙面部分之间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g．求：
（1）弹簧被压缩到最短时物块C的速度大小；
（2）平板A，B在碰撞过程中损失的总动能E_k损；
（3）物块C第一次到P点时C和B的速度大小；
（4）求B的最大速度V_max．

Answer 1

分析 （1）弹簧压缩至最短时，三物体的速度相等，对整体分析，根据动量守恒定律可求得C的速度；
（2）对AB分析，根据动量守恒求出碰后的速度，再由功能关系可求得损失的动能；
（3）先对物体运动的全过程分析，再对物体C第一次到P点过程分析，注意系统损失的机械能等于摩擦力与相对位移的乘积；根据能量关系及动量守恒定律列式求解；
（4）对运动过程进行分析，明确当C再次回到P点时B的速度达最大，根据（3）中求出的结果可明确最大速度．

解答 解：（1）设向右为正方向，则对整体分析可知，当弹簧压缩至最短时，ABC三者速度相同，则由动量守恒定律可知：
2mv₀=（2m+2m）v₁
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（2）对AB碰撞过程，根据动量守恒定律有：mv₀=（m+2m） v₂
再由能量守恒可知，损失的总动能为：E_K损=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v₂²=$\frac{1}{3}$mv₀²
（3）设C停在Q点时A、B、C共同速度为v₃，根据动量守恒定律有：2mv₀=4mv₃ 
解得：v₃=$\frac{{v}_{0}}{2}$
对A、B、C组成的系统，从A、B碰撞结束瞬时到C停在Q点的过程，
根据功能关系有：μmg（2L）=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₂²-$\frac{1}{2}$（4m）v₃² 
当第一次到P点时有：
2mv₀=mv_C+3mv_B
由功能关系知：
μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₂²-$\frac{1}{2}$（3m）v_B²-$\frac{1}{2}$mv_C²
联立解得，v_B=（$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀；
其中（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀是B返回P点时的速度；应舍去；
此时C的速度v_C=$\frac{{v}_{0}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$v₀
（4）根据运动过程可知，当再次回到P点时，B的速度达最大，
由以上可知，B的最大速度为：v_max=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀
答：（1）弹簧被压缩到最短时物块C的速度大小为$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（2）平板A，B在碰撞过程中损失的总动E_k损为$\frac{1}{3}$mv₀²
（3）物块C第一次到P点时C和B的速度大小分别为$\frac{{v}_{0}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$v₀和（$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀
（4）求B的最大速度V_max为（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀

点评 本题考查动量守恒定律的应用，要注意正确设定正方向，根据题意选择研究对象，明确动量守恒及功能关系的应用即可正确求解；但此题过程稍复杂，对学生分析问题能力要求较高．