Question

15．一个粗细均匀一端封闭的L型的玻璃管，竖直的空气柱长度为L₀=100cm，上部的水平管内的水银柱长度为80cm，当地的大气压强为P₀=76cmHg，初始时的气温T₀=300K，水银柱的右侧有一个封闭的轻活塞，可无摩擦的移动．现用水平力F将活塞缓慢的向左推，使一部分水银柱进入到竖直的管内，当竖直管内的水银柱长度为x时，撤去推力F，水银柱恰好在原处静止．求：
（1）竖直管内水银柱的长度x=？
（2）若将竖直管周围的温度升高，当温度至少升高到多少K时，才能使水银柱全部回到水平管内？

Answer 1

分析 （1）气体温度不变，根据玻意耳定律列式求解
（2）在温度升高的过程中，可能有两种情况：
a．温度升高的过程中水银一点点溢出，空气柱的长度也一点点的变长，水银柱恰好全部回到水平管时，竖直气柱的长度为整个竖直管的长度；
b．温度升高的过程中，开始时水银一点点溢出，空气柱的长度也一点点的变长，而在某一个特殊点，剩余的水银一下子全部回到水平管．
由于第二种的情况存在一个极值，所以也可以先判定该极值，求出气体的长度，然后与竖直管的长度比较即可．

解答 解：①设玻璃管的截面积为S，由玻意耳定律有：
${p}_{0}^{\;}{L}_{0}^{\;}S=（{p}_{0}^{\;}+x）（{L}_{0}^{\;}-x）S$
代入数据：76×100S=（76+x）（100-x）S
解得：x=24cm
②设升温后管内剩余水银柱长为x时，温度最高，设为T_x，由理想气体状态方程：
$\frac{{p}_{0}^{\;}{V}_{0}^{\;}}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$
代入数据：$\frac{76×100S}{300}=\frac{（100-x）S•（76+x）}{{T}_{x}^{\;}}$
解得：${T}_{x}^{\;}=\frac{3}{76}（100-x）（76+x）$，
故：x=7cm时，T_x有最大值；
由此可知，分析中的a假设是错误的，要考虑在某一个特殊点，剩余的水银一下子全部回到水平管的情况
解得：${T}_{x}^{\;}=\frac{3}{76}×93×83≈304.4K$
答：（1）竖直管内水银柱的长度x为24cm
（2）若将竖直管周围的温度升高，当温度至少升高到304.4K时，才能使水银柱全部回到水平管内

点评 该题考查理想气体的状态方程，该题中的第二问是一道非常容易出错的问题，很容易使人想到当竖直管空气柱的长度等于竖直管管的总长度时，水银才回到水平管，而实际上并非如此．如果按照竖直管空气柱的长度等于竖直管的总长度时，水银才回到水平管，计算的结果将等于300K，是错误的．