Question

（2011?广东模拟）如图（甲）所示，两平行金属板间接有如图（乙）所示的随时间t变化的电压u，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的．（取π=3.14）

（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度．
（2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值．写出表达式并求出这个定值．
（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场．试猜想粒子在磁场中运动的时间是否为定值，若是，求出该定值的大小；若不是，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间．

Answer 1

分析：（1）当两板间所能加的电压最大时，粒子射出电场的速度最大．根据运动的分解和动能定理结合求出最大速度．
（2）画出轨迹，由几何知识找出该距离与轨迹半径的关系来证明．
（3）定出最大的偏转角和最小的偏转角，利用周期求出最长和最短的时间．

解答：解：（1）设两板间电压为U₁时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，
      则有

d

2

=

1

2

at2=

1

2

?

U1q

dm

(

L

v0

)2；
     代入数据，解得：U₁=100V
     在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出．
     粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v₁，则有：

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+q?

U1

2

；
             解得：v1=

2

×105m/s=1.414×10⁵m/s
（2）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ，
     则速度大小v=

v0

cosθ

，
    粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

，粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离s=2Rcosθ=

2mv0

qB

    代入数据解得s=0.4m，s与θ无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值．
（3）粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针方向做匀速圆周运动．粒子飞出电场时的速度方向与OO'的最大夹角为α，
        则 cosα=

v0

v1

=

2

2

，α=45°．
     当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长，tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10^-6s=9.42×10^-6s；
     当粒子从上板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最短，tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10^-6s=3.14×10^-6s．
答：（1）带电粒子射出电场时的最大速度为1.414×10⁵m/s．
（2）证明如上所述．粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离s=2Rcosθ=

2mv0

qB

．
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为9.42×10^-6s，最短时间为3.14×10^-6s．

点评：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．