Question

3．感应加速器可以简化为以下模型：在圆形区域内存在一方向竖直向下，磁感应强度大小B随时间均匀变化的匀强磁场．在磁感应强度变化过程中，将产生涡旋电场E_涡，涡旋电场电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等，涡旋电场场强与电势差的关系与匀强电场相同．在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心0在区域中心．一质量为m、带电量为q小球位于玻璃管内部．设磁感应强度B随时间变化规律为B=kt，t=0时刻小球由静止开始加速．求：
（1）小球沿玻璃管加速运动第一次到开始位置时速度v₁的大小
（2）设小球沿管壁运动第一周所用时间为t₁，第二周所用时间为t₂，t₁：t₂为多大；
（3）小球加速转动第N圈过程中该加速装置的平均功率P_平．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感生电动势的大小，由动能定理求速度v₁的大小．
（2）由于涡旋电场强度大小不发生变化，小球沿管方向的运动是加速度大小不变的加速运动，可以根据匀变速运动的速度公式求时间之比．
（3）第N圈过程中该加速装置的平均功率 P_平=$\frac{qE}{{t}_{N}}$，由动量定理可得  E_涡qt_N=mv_N-mv_N-1；再结合涡旋电场场强电势差的关系 E=kπr²=E_涡•2πr，即可求解．

解答 解（1）感生电动势大小 E=$\frac{△B}{△t}$S=kπr²
 电场力做功与动能变化的关系表示为 W=qE=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$
（2）小球沿管运动过程中，带点小球运动每一圈过程中电场力做功相同，则有 2qE=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
由于涡旋电场强度大小不发生变化，故小球沿管方向的运动是加速度大小不变的加速运动，根据匀变速运动规律则有
  t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$
  t₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}$
得 t₁：t₂=1：（$\sqrt{2}$-1）
（3）第N圈过程中该加速装置的平均功率 P_平=$\frac{qE}{{t}_{N}}$
根据动量定理可得
  E_涡qt_N=mv_N-mv_N-1；
涡旋电场场强与电势差的关系 E=kπr²=E_涡•2πr
而 v_N=$\sqrt{N\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$，v_N-1=$\sqrt{（N-1）\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$
联立解得：P_平=$\sqrt{\frac{{k}^{2}π{r}^{4}{q}^{2}}{8m}}$（$\sqrt{N}$-$\sqrt{N-1}$）
答：
（1）小球沿玻璃管加速运动第一次到开始位置时速度v₁的大小是$\sqrt{\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$．
（2）设小球沿管壁运动第一周所用时间为t₁，第二周所用时间为t₂，t₁：t₂为1：（$\sqrt{2}$-1）．
（3）小球加速转动第N圈过程中该加速装置的平均功率P_平是$\sqrt{\frac{{k}^{2}π{r}^{4}{q}^{2}}{8m}}$（$\sqrt{N}$-$\sqrt{N-1}$）．

点评 本题主要考查电磁感应、动能定理、功能关系以及动量定理，本题关键要抓住小球的运动与匀变速直线运动相似性，明确感应电动势和涡旋场强的关系．