Question

一宇航员到达半径为R，密度均匀的某星球表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小随时间t的变化规律如图乙所示，F₁=7F₂，设R、m、引力常量G、F₁、F₂均为己知量，忽略各种阻力，以下说法正确的是（　　）

• A、小球在最高点的最小速度为零
• B、卫星绕该星的第一宇宙速度为

  RF2 m

• C、该星球表面的重力加速度为

  F1

  7m

• D、星球的质量为

  F2R2

  Gm

Answer 1

分析：（1）对小球受力分析，在最高点和最低点时，由向心力的公式和整个过程的机械能守恒可以求得重力加速度的大小；
（2）根据万有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面时，万有引力和重力近似相等，可以求得星球的质量；
（4）对小球在最高点运用牛顿第二定律分析求解问题．

解答：解：A、小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律得：
  F₂+mg=m

v22

R

≥mg
所以小球在最高点的最小速v₂≥

gR

．故A错误；
B、设砝码在最低点时细线的拉力为F₁，速度为v₁，则
  F₁-mg=m

v12

R

 ①
设砝码在最高点细线的拉力为F₂，速度为v₂，则
  F₂+mg=m

v22

R

②
由机械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₁²  ③
由①、②、③解得
  g=

F1-F2

6m

④
又：F₁=7F₂，
所以该星球表面的重力加速度为g=

F1

7m

=

F2

m

，
根据万有引力提供向心力得：m

v2

R

=mg
卫星绕该星球的第一宇宙速度为v=

gR

=

RF1 7m

=

RF2 m

，故B、C正确．
D、在星球表面，万有引力近似等于重力G

Mm′

R2

=m′g      ⑤
由④、⑤解得  M=

F1R2

7Gm

=

F2R2

Gm

，故D正确．
故选：BCD．

点评：根据砝码做圆周运动时在最高点和最低点的运动规律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，知道在星球表面时，万有引力和重力近似相等，而贴着星球的表面做圆周运动时，物体的重力就作为做圆周运动的向心力．