Question

一宇航员到达半径为R，密度均匀的某星球表面，做如下实验，用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小随时间t的变化规律如图乙所示，F₁=7F₂，设R、m、引力常量G、F₁、F₂均为己知量，忽略各种阻力，以下说法正确的是（　　）

• A．小球在最高点的最小速度为零
• B．卫星绕该星的最小运行速度为

  Gm R

• C．该星球表面的重力加速度为

  F1

  7m

• D．星球的质量为

  F2R2

  7Gm

Answer 1

分析：抓住圆周运动的临界情况，确定小球在最高达的最小速度．根据牛顿第二定律，结合机械能守恒定律求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力等于重力求出星球的质量．

解答：解：A、小球在最高点的最小速度不能为零，临界情况是拉力为零，重力提供向心力．故A错误．
B、根据万有引力提供向心力得：G

Mm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

，速度的大小与m无关．故B错误．
C、设砝码在最低点时细线的拉力为F₁，速度为v₁，则
F₁-mg=m

v12

r

设砝码在最高点细线的拉力为F₂，速度为v₂，则
F₂+mg=m

v22

r

由机械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mv22=

1

2

mv12
联立解得g=

F1-F2

6m

F₁=7F₂，
所以该星球表面的重力加速度为

F1

7m

．故C正确．
D、星球表面的重力加速度为

F1

7m

．根据GM=gR²，则M=

gR2

G

=

F1R2

7Gm

．故D错误．
故选C．

点评：本题考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力两个理论，并与圆周运动结合，综合运用了牛顿第二定律和机械能守恒定律，对学生的能力要求较高，是道好题．