Question

如图为一传送带装置模型，斜面的倾角θ，底端经一长度可忽略的光滑圆弧与足够长的水平传送带相连接，质量m=2kg的物体从高h=30cm的斜面上由静止开始下滑，它与斜面的动摩擦因数μ₁=0.25，与水平传送带的动摩擦因数μ₂=0.5，物体在传送带上运动一段时间以后，物体又回到了斜面上，如此反复多次后最终停在斜面底端．已知传送带的速度恒为v=2.5m/s，tanθ=0.75，g取10m/s²．求：
（1）从物体开始下滑到第一次回到斜面的过程中，物体与传送带因摩擦产生的热量；
（2）从物体开始下滑到最终停在斜面底端，物体在斜面上通过的总路程．

Answer 1

对物体从静止开始到达底端的过程运用动能定理得：
mgh-μ1mgs1cosθ=

1

2

mv12-0
代入数据解得：v₁=2m/s，
物体滑上传送带后向右做匀减速运动，匀减速运动的位移为：
x1=

v12

2μ2g

=

4

10

=0.4m，
匀减速运动的时间为：t1=

v1

μ2g

=

2

5

s=0.4s，
该段时间内的传送带的位移为：x₂=vt₁=2.5×0.4m=1m
则相对路程的大小为：△x₁=x₁+x₂=1.4m，
返回的过程做匀加速直线运动，根据x1=

1

2

at22，
解得：t2=

2x1 a

=

2×0.4 5

=0.4s，
传送带的位移为：x₃=vt₂=2.5×0.4=1m，
则相对位移大小为：△x₂=x₃-x₁=0.6m
相对总路程的大小为：△x=△x₁+△x₂=2m，
则由摩擦产生的热量为：Q=μ₂mg△x=0.5×20×2J=20J．
（2）在传送带上摩擦力先做负功，再做正功，在传送带上摩擦力做功为零，对全过程运用动能定理得：
mgh-μ₁mgscosθ=0
代入数据解得：s=1.5m．
答：（1）物体与传送带因摩擦产生的热量为20J；
（2）物体在斜面上通过的总路程为1.5m．