Question

以竖直向上为y轴正方向的平面直角系xOy，如图所示．在第一、四象限内存在沿x轴负方向的匀强电场E₁，在第二、三象限内存在着沿y轴正方向的匀强电场E₂和垂直于xOy平面向外的匀强磁场．现有一质量为m、电荷量为q的带正电小球从坐标原点O以初速度v₀沿与x轴正方向成45°角的方向射出．已知两电场的电场强度E₁=E₂=

mg

q

，磁场的磁感应强度为B．
（1）求小球离开O点后第一次经过y轴所用的时间；
（2）求小球离开O点后第三次经过y轴的坐标；
（3）若小球从O点以某一初速度沿与x轴正方向成135°角的方向射出且能再次回到O点，则该初速度的大小为多少？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律，可求出加速度大小与方向，再由运动学公式，即可求解；
（2）根据电场力与重力平衡，可知，粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，列式可得，半径关系．从而由粒子做平抛运动，运用运动学公式可得，每次经过y轴的坐标，从而即可求解；
（3）根据粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律与几何关系可知，初速度的大小．

解答：解：（1）设小球在第一象限中的加速度为a，
由牛顿第二定律得

(mg)2+(qE)2

=ma
得到a=

2

g，方向与v₀的方向相反
在第一象限中小球先匀减速运动再反向匀加速运动，所以
t₁=

2v0

a

=

2 v0

g

（2）小球第一次经过y轴后，在第二、三象限内由qE=mg，电场力与重力平衡，故做匀速圆周运动．设轨迹半径为R．有
qv₀B=m

mv 2 0

R

得R=

mv0

qB

小球第二次经过y轴的坐标
y₁=

2

R=

2 mv0

qB

t时间后第三次经过y轴，在第一、四象限内做类平抛运动，有
v₀t′=

1

2

2

gt²
得t′=

2 v0

g

小球第二次经过y轴与第三次经过y轴的距离为
△y=

2

v₀t′=

2v 2 0

g

 
小球第三次经过y轴的坐标y₂=y₁-△y=

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

（3）若小球沿与x轴正方向成135°射出时小球的运动轨迹如图所示，有△y′=2

2

R′
即

2v2

g

=2

2

mv

qB

得v=

2 mg

qB

答：（1）则小球离开O点后第一次经过y轴所用的时间

2 v0

g

；
（2）则小球离开O点后第三次经过y轴的坐标

2 mv0

qB

-

2v 2 0

g

；
（3）若小球从O点以某一初速度沿与x轴正方向成135°角的方向射出且能再次回到O点，则该初速度的大小为

2 mg

qB

．

点评：考查粒子在电场力作用下做类平抛运动，在磁场力作用下做匀速圆周运动，掌握处理的方法与规律，理解牛顿第二定律与几何的关系的应用．本题画出正确的运动轨迹是解题的关键之处．