Question

10．如图所示，在竖直平面内，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MOP范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，MOQ上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子在磁场中的运动时间；
（2）速度最大的粒子打在水平线POQ上的位置离O点的距离；
（3）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件画出粒子运动的轨迹，根据轨道知，粒子经历三个运动，磁场中的匀速圆周运动、离开磁场后的匀速直线运动和进入电场后的类平抛运动，根据题设条件分三段分别利用运动规律求解粒子运动的时间即可；
（2）分三段求PO间的距离，圆周运动部分、匀速运动部分和类平抛运动部分．
（3）根据题目条件，磁场区域只需要存在于粒子发生偏转的过程中，作出不同速度粒子的偏情况，求出满足条件的磁场区域即可．

解答 解：（1）因粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左，说明粒子速度方向改变了$\frac{2π}{3}$，由几何关系可得粒子的运动轨迹如图所示．设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁
因为$T=\frac{2πm}{Bq}$
所以${t_1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$
（2）由 $Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{{q{B^2}}}$
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，由几何关系知：$s=\frac{R}{tanθ}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{q{B^2}}}$
过MO后粒子在电场中做类平抛运动，设运动的时间为t₂，
则：$R+Rsin{30°}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t_2}^2$，${t_2}=\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$，
由几何关系知，速度最大的粒子打在水平线POQ上的位置离O点的距离$L=OP=Rcosθ+s+v{t_2}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}=\frac{{5\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}$，
（3）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积，
扇形OO′N的面积$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
联立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子在磁场中的运动时间为$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）速度最大的粒子打在水平线POQ上的位置离O点的距离为$\frac{5\sqrt{3}mE}{2{B}^{2}q}$；
（3）磁场区域的最小面积为$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中做匀速圆周运动和在电场中做类平抛运动的知识，对学生几何能力要求较高．