Question

2．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO右侧存在电场强度为E、方向竖直向上的匀强电场，MO左侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v（0≤v≤E/B）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向右，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：

（1）速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．
（2）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，先求出粒子在匀强磁场中运动时间，粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，根据几何关系及速度时间公式求出时间，过MO后粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出此过程中的时间，三段时间之和即为总时间；
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，

设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
粒子在匀强磁场中运动时间为t₁则$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
$R=\frac{mv}{qB}$，周期T=$\frac{2πm}{Bq}$
则
${t}_{1}=\frac{1}{3}T$
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，
由几何关系知：
S=Rcotθ  
${t}_{2}=\frac{s}{v}$
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，则：$\frac{3}{2}R=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{3}}^{2}$
又由题知：$v=\frac{E}{B}$
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间t=t₁+t₂+t₃
解得：$t=\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．


扇形OO′N的面积$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
联立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间为$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3Bq}$；
（2）磁场区域的最小面积为$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．