Question

3．如图所示，空间内有方向垂直纸面（竖直面）向里的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度大小未知．区域Ⅰ内有竖直向上的匀强电场，区域Ⅱ内有水平向右的匀强电场，两区域内的电场强度大小相等，现有一质量m=0.01kg，带电荷量q=0.01C的带正电滑块从区域Ⅰ左侧与边界MN左侧相距L=2m的A点以v₀=5m/s的初速度沿粗糙、绝缘的水平面向右运动，进入区域Ⅰ后，滑块立即在竖直平面内做匀速圆周运动，在区域Ⅰ内运动一段时间后离开磁场落回A点．已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.225，重力加速度g=10m/s²．
（1）求匀强电场的电场强度E和区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小B₁；
（2）求滑块从A点出发到再次落回A点所经历的时间t；
（3）若滑块在A点以v₀=9m/s的初速度沿水平面向右运动，当滑块进入区域Ⅱ后恰好能做匀速直线运动，求有界磁场区域Ⅰ的宽度d及区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小B₂．

Answer 1

分析 （1）小球进入复合场区域后，小球立即在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力与电场力的大小相等，方向相反；A到N的过程中根据牛顿第二定律可求出小球到达N点的速度．小球离开磁场后做平抛运动，将运动分解，即可求出下落的高度，然后结合几何关系由于洛伦兹力提供向心力的公式即可求出磁感应强度；
（2）小球在AN之间做减速运动，由运动学的公式求出时间；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由周期公式即可求出粒子在磁场中运动的时间，根据平抛运动的规律求平抛运动的时间，最后求和；
（3）A到N的过程中摩擦力做功，由动能定理即可求出小球到达N点的速度．小球进入区域Ⅱ后恰好能沿直线运动，说明小球受到的合外力为0，受力分析即可求出小球的速度，结合动能定理即可求出有界磁场区域Ⅰ的宽度d及区域Ⅱ的磁感应强${B}_{2}^{\;}$的大小．

解答 解：（1）滑块在区域I内做匀速圆周运动时，重力与电场力平衡，则有 mg=qE
解得        $E=\frac{mg}{q}=10V/m$
滑块在AN间运动时，由牛顿第二定律可得a=μg=2.25m/s²
由运动公式可得 ${v^2}-{v_0}^2=2aL$
代入数据得       v=4m/s
平抛运动过程满足L=vt₃
$2r=\frac{1}{2}g{t_3}^2$
做圆周运动满足 $qv{B_1}=m\frac{v^2}{r}$
联立方程求解得B₁=6.4T
（2）滑块在AN间的时间   ${t_1}=\frac{{v-{v_0}}}{a}=\frac{4}{9}s$
在磁场中做匀速圆周运动的时间  ${t_2}=\frac{πm}{qB1}=\frac{5π}{32}s$
平抛运动的时间          ${t_3}=\frac{L}{v}=0.5s$
总时间为                $t={t_1}+{t_2}+{t_3}=（\frac{17}{18}+\frac{5π}{32}）s$
（3）设滑块进入磁场时的速度为v，满足$-μmgL=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入数据得           $v=6\sqrt{2}m/s$
滑块在区域II做直线运动时，合力一定为0，由平衡知$qv{B_2}=\sqrt{2}mg$
解得                   ${B_2}=\frac{5}{3}T$
滑块离开磁场区域I时的速度方向一定与水平成45⁰角．由几何关系知$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$
当滑块在区域I中做匀速圆周运动时有${B_1}qv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
解得                   $r=\frac{mv}{{q{B_1}}}=\frac{{15\sqrt{2}}}{16}m$
联立得                  $d=\frac{15}{16}m$
答：（1）匀强电场的电场强度E和区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小${B}_{1}^{\;}$为6.4T；
（2）滑块从A点出发到再次落回A点所经历的时间t为$（\frac{17}{18}+\frac{5π}{32}）s$；
（3）若滑块在A点以v₀=9m/s的初速度沿水平面向右运动，当滑块进入区域Ⅱ后恰好能做匀速直线运动，有界磁场区域Ⅰ的宽度d为$\frac{15}{16}m$及区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小${B}_{2}^{\;}$为$\frac{5}{3}T$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意当粒子在复合场中做匀速 圆周运动时，粒子受到的电场力与重力平衡．