Question

2．设想探测火星时，载着登陆舱的探测飞船在以火星中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，登陆舱和探测飞船的总质量为m₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂则（　　）

• A． 火星的质量为$M=\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• B． 火星表面的重力加速度为$g'=\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• C． 登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的速度大小之比为$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• D． 登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为${T_2}=\frac{{r_2^{\;}}}{{r_1^{\;}}}{T_1}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出星球的质量，通过万有引力提供向心力，得出线速度、周期与轨道半径的关系，从而求出线速度大小之比以及登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期．

解答 解：A、根据G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．故A正确．
B、由于火星的半径未知，则无法求出星球表面的重力加速度．故B错误．
C、根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$．故C错误．
D、根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，则$\frac{{T}_{1}}{T{\;}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r_1}^3}}{{{r_2}^3}}}$．故D错误．
故选：A

点评 本题主要抓住万有引力提供圆周运动向心力并由此根据半径关系判定描述圆周运动物理量的大小关系，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．