Question

如图所示，质量m₂=4kg、长L=1.5m的长木板置于光滑水平桌面上，再将m₁=2kg的另一物块（可视为质点）置于长木板的最右端，物块与长木板间的动摩擦因数为μ=0.4，一根水平细绳通过定滑轮将另一物块m₃与长木板相连，手持m₃使细绳刚好伸直，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，开始时m₂距滑轮足够远，桌面足够高．（g取10m/s²）
（1）要使m₃由静止释放后，物块m₁与m₂不发生相对运动，求m₃的取值范围．
（2）去掉m₃，用大小为40N的拉力向下拉细绳，作用0.5s后撤去拉力，求m₁的最终速度．

Answer 1

分析：（1）要使m₃由静止释放后，物块m₁与m₂恰好不发生相对运动时，两者之间的静摩擦力达到最大，对m₁，由牛顿第二定律求出最大加速度，再对m₁和m₂整体及m₃，由牛顿第二定律列式，即可求得m₃的取值范围．
（2）去掉m₃，用大小为40N的拉力向下拉细绳，根据上题的结果可知物块在木板上滑动．由牛顿第二定律和运动学公式求出0.5s时两个物体的速度和位移，得知物块在木板上继续滑动，当两者相对静止时，根据动量守恒求出相对静止时的共同速度，由能量守恒列式求出相对滑动的位移，即可得到m₁的最终速度．

解答：解：（1）物块m₁与m₂不发生相对运动时，m₁的最大加速度满足：μmg=ma，a=μg
对于m₁和m₂整体：T=（m₁+m₂）a
对于m₃：m₃g-T=m₃a
代入数据得：m₃=4kg
故m₃的取值范围为m₃≤4kg
（2）上题中绳子的拉力小于40N，所以去掉m₃，用大小为40N的拉力向下拉细绳，物块将在木板上滑动．
设力F拉细绳时，m₁、m₂的加速度为a₁、a₂
对于m₁，有　μm₁g=m₁a 
s1=

1

2

a1t2  v₁=a₁t
对于m₂，有　F-μm₂g=m₂a₂
s2=

1

2

a2t2  v₂=a₂t
代入数据得　a₁=4m/s²    a₂=8m/s²    s₁=0.5m    s₂=1m
v₁=2m/s     v₂=4m/s
由于△s₁=s₂-s₁=0.5m＜1m，故物块在木板上继续滑动．
撤去F后，系统动量守恒，设物块能在木板上跟木板相对静止，则有：
  m₁v₁+m₂v₂=（m₁+m₂）v
μm1g△s2=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

-

1

2

(m1+m2)v2
代入数据得△s₂=0.67m，v=3.33m/s
由于△s₁+△s₂=1.17m＜1.5m，故物块最后的速度为3.33m/s．
答：（1）要使m₃由静止释放后，物块m₁与m₂不发生相对运动，m₃的取值范围m₃≤4kg．
（2）去掉m₃，用大小为40N的拉力向下拉细绳，作用0.5s后撤去拉力，m₁的最终速度是3.33m/s．

点评：本题是连接体问题，关键要理清物体的运动情况，抓住临界条件：物块m₁与m₂恰好不发生相对运动时，两者之间的静摩擦力达到最大；第2题中，撤去拉力后，根据两个物体相对静止时的共同速度和位移关系求解第2题，考查分析和解决物理综合题的能力．