Question

如图所示，质量m₂=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上，距车的右端d=

1

6

m处有一固定的竖直挡板P．现有质量为m₁=0.2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v₀=2m/s从左端滑上小车，物块与车面间的动摩擦因数μ=0.2，小车与挡板碰撞将以原速率反弹，最终小物块刚好在车面右端与小车保持相对静止．整个过程物块与挡板不会碰撞，取g=10m/s²．求：
（1）即将与挡板P相撞时小车的速度；
（2）小车长L；
（3）若小车右端与挡板P之间的距离d可调，求出能让小物块刚好在车面右端保持相对静止d的所有可能取值．

Answer 1

分析：（1）小车与墙壁碰撞之前，对小车，根据动能定理列式求出小车的速度；假设物块与小车碰前达到共速，小车与墙壁碰撞后，原速率反弹，之后小车与物块组成的系统动量守恒，列式求出最后两者共同的速度，作出判断，得到即将与挡板P相撞时小车的速度；
（2）小车与小车即将与挡板碰撞时，由系统的动量守恒列式求出物块的速度．小车与挡板碰后至小车与滑块再次相对静止的过程中，小车与滑块为系统动量守恒，列式求出共同速度．再根据能量守恒求解小车的长度L；
（3）小车与挡板即将发生第n次碰撞之前，小车与物块的动量大小相等，在小车与挡板第n次碰撞之后，由动量守恒可确定两者相对静止时，整体共同速度为零，系统末动能为零．这样的条件下物块相对小车静止在另外一端．运用牛顿第二定律、运动学公式和动量守恒结合分过程求解．

解答：解：（1）小车与墙壁碰撞之前，设速度为v₁，
对小车据动能定理有：μm₁gd=

1

2

m₂v₁²-0
解得：v₁=

2

3

m/s                            
若碰前达到共速，据动量守恒有：
 m₁v₀=（m₁+m₂）v_共
 v_共=

m1v0

m1+m2

=0.8（m/s）
因为 v₁=

2

3

 m/s＜v_共    
小车与墙壁碰撞之前速度为 v₁=

2

3

m/s
（2）小车即将与挡板碰撞时，设物体的速度为v₂ ．
 m₁v₀=m₁v₂+m₂v₁
v₂=1m/s
小车与挡板碰后至小车与滑块再次相对静止的过程中，小车与滑块为系统动量守恒，设共速为v
 m₁v₂-m₂v₁=（m₁+m₂）v
解得：v=0
因小车与挡板碰撞时无机械能损失，据能量转化与守恒有
 μm₁gL=

1

2

m₁

v

2 0

                    
解得：L=1m
（3）若小车与挡板即将发生第n次碰撞之前，小车与物块的动量大小相等，则在小车与挡板第n次碰撞之后，据动量守恒可确定两者相对静止时，整体共同速度为零，系统末动能为零．这样的条件下物块相对小车静止在另外一端．
令小车运动的加速度，据牛顿第二定律有：μm₁g=m₂a₁
解得：a₁=

4

3

（m/s²）
小车由静止开始匀加速至与挡板发生第一次碰撞之前，用时为t₀
 d=

1

2

a₁

t

2 0

此时小车的速度 v=a₁t₀
至小车即将与挡板发生第n次碰撞之前，用时t=（2n-1）t₀
此时，物块速度为 v′，v′=v0-a₂t
且 m₁v=m₂v′
代入数据联解可得：t₀=

1

2n

 d=

1

6n2

（m） （n=1，2，3…）
答：（1）即将与挡板P相撞时小车的速度为

2

3

m/s；
（2）小车长L为1m；
（3）能让小物块刚好在车面右端保持相对静止d的所有可能取值为 d=

1

6n2

（m） （n=1，2，3…）．

点评：本题过程非常复杂，关键要把握每个过程的物理规律，对于系统，考虑动量守恒和能量守恒．第3小问，相当于数列问题，关键经总结出规律进行求解．