Question

如图所示，放在水平地面（粗糙）上的光滑直轨道AB和半圆形的光滑轨道CED处于同一竖直平面内，两轨道与水平地面平滑连接，其端点B和C相距1.2m，半圆轨道两端点的连线CD与地面垂直．今有一质量为0.1kg的小球从离地面高度为4.2m处无初速释放，运动到C点时速度为4

5

m/s，g取10m/s²．求：

（1）若要使小球恰能到达半圆形光滑轨道的最高点D，半圆形轨道CED的半径r应为多大？
（2）若半圆形轨道CED的半径就是前面求得的r，在B点正上方高度为3m处设置一垂直于纸面粗细可不计的横杆，若要使小球刚好能够从横杆上越过．则小球在光滑直轨道AB上释放时离地的高度应为多少？

Answer 1

分析：（1）小球刚好通过最高点，重力提供向心力，从C到D有机械能守恒，联立方程即可求解；
（2）根据动能定理求出小球在水平地面克服摩擦力做功，小球从D点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的基本规律即可求解．

解答：解：（1）设半圆轨道半径为r，小球刚好通过最高点则有mg=m

v 2 D

r

从C到D有机械能守恒得

1

2

m

v

2 C

=mg(2r)+

1

2

m

v

2 D

联立代入数值解得r=1.6m      
（2）设小球在水平地面克服摩擦力做功为W，由动能定理得mgh-W=

1

2

m

v

2 C

-0
解得：W=0.2J            
从D至横杆高度处小球下落的高度差△h=2r-3=0.2m   
运动时间t=

2△h g

=0.2s       
小球离开D点速度v′D=

x

t

=6m/s     
由动能定理得mg(h′-2r)-W=

1

2

mv

′

2 D

-0
解得h'=5.2m      
答：（1）若要使小球恰能到达半圆形光滑轨道的最高点D，半圆形轨道CED的半径r应为1.6m；
（2）小球在光滑直轨道AB上释放时离地的高度应为5.2m．

点评：本题主要考查了动能定理及平抛运动基本规律的直接应用，要知道小球刚好通过最高点时由重力提供向心力，难点适中．