Question

15．月球的质量为R₁，半径为M₁，地球的质量为R₂，半径为M₂，月球绕地球转动的轨道半径为r，万有引力常量为G，则月球表面重力加速度为$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力引起的重力加速度为$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，月球绕地球转动的向心加速度为$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，要使月球不会由于自转解体，则月球的自转角速度满足条件为ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$．

Answer 1

分析 在月球表面，物体的重力等于万有引力，根据万有引力定律列式求解即可；
在在月球绕地球运行的轨道处，重力等于万有引力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
在月球绕地球运行的轨道处，重力等于万有引力，万有引力提高月球圆周运动的向心力，故向心加速度等于该位置的重力加速度；
要使月球不会由于自转解体，临界情况是赤道上物体的万有引力等于向心力．

解答 解：月球的质量为R₁，半径为M₁，在月球表面，物体的重力等于万有引力，故：mg_月=$\frac{G{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}$
解得：g_月=$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$
在月球绕地球运行的轨道处，重力等于万有引力，故：mg′=$\frac{G{M}_{2}m}{{r}^{2}}$
解得：g′=$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$
在月球绕地球运行的轨道处，万有引力提高月球圆周运动的向心力，故：a=g′=$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$
要使月球不会由于自转解体，最大角速度对应的是赤道上物体的万有引力等于向心力，故：
$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{{ω}_{max}}^{2}{R}_{1}$
解得：ω_max=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$
故ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$
故答案为：$\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$，$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，$\frac{G{M}_{2}}{{r}^{2}}$，ω≤$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}^{3}}}$．

点评 本题关键是明确力是产生加速度的原因；在星球表面，不考虑星球自转的情况下，重力等于万有引力；在空中，重力等于万有引力．