Question

4．如图所示，一列简谐横波沿x轴方向传播，波速v=3m/s．t=0时刻，x=1m处的质点A的位移为2cm，且向上振动，x=30m处的质点B的位移为4cm，且处于波峰位置．已知该波的周期T满足2s≤T≤2.5s，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 该波的周期一定为2.32 s
• B． 该波不可能沿x轴负方向传播
• C． t=1s时，质点A的加速度沿y轴正方向
• D． 0～10 s时间内，质点B运动的路程为0.8m

Answer 1

分析 简谐横波传播过程中，介质中各质点均做简谐运动，a、b两个质点位于平衡位置上方，根据振动方向和位移关系，结合数学知识求解周期．由数学知识可知，图示时刻A、B之间的距离为x=（n+$\frac{5}{6}$）λ或为x=（n+$\frac{1}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），求出波长，从而判断质点的振动情况．

解答 解：AB、若该波沿x轴正方向传播，由题干图可知，该波的振幅为4cm，由振动方程：x=Asin（ωt+φ₀）
t=0时，A的位移为2cm且运动的方向向上，则A点的振动方程为：x_A=4sin（ωt+φ₁）cm
所以φ₁=$\frac{π}{6}$rad
t=0时，质点B的位移为4cm，则B点的振动方程：x_B=4sin（ωt+φ₂）cm
所以：φ₂=0.5πrad
由数学知识可知，A与B之间的距离：x_B-x_A=（n+$\frac{5}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），
则该波由A传播到B的时间：t=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{v}=（n+\frac{5}{6}）T$
联立可得：T=$\frac{58}{（6n+5）}$s
由题，2s≤T≤2.5s
当n=3时，T=2.52s，不符合题意；
当n=4时，T=2s，符合题意．
此时：$λ=\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{4+\frac{5}{6}}=\frac{30-1}{\frac{29}{6}}=6$m
同理，若该波沿x轴负方向传播，则：x_B-x_A=（n+$\frac{1}{6}$）λ，（n=0，1，2，…），
则该波由A传播到B的时间：t=$\frac{{x}_{B}-{x}_{A}}{v}=（n+\frac{1}{6}）T$
联立可得：T=$\frac{58}{（6n+1）}$s
由题，2s≤T≤2.5s
当n=3时，T=3.05s，不符合题意；
当n=4时，T=2.32s，符合题意．
由以上的分析可知，该波可能沿x轴的正方向传播，周期为2s；有可能沿x轴的方向传播，周期为2.32s．故AB错误；
C、若该波沿x轴正方向传播，周期为2s，t=1s时经历了半个周期，所以A点位于x轴的下方，则加速度的方向向上；
若该波沿x轴负方向传播，周期为2.32s，t=1s时经历了$\frac{1}{2.32}T$$＞\frac{1}{3}$T，所以A点位于x轴的下方，则加速度的方向向上．故C正确；
D、由于该波可能沿x轴正方向传播，有可能沿x轴负方向传播，所以不能确定10s内的路程．故D错误．
故选：C

点评 本题考查运用数学处理物理问题的能力，知道两个质点的运动状态，得到的往往是波长的通项．