Question

1．如图所示，一质量为2m的平板小车，静止在光滑的水平地面上．小车右端有一固定着的水平轻弹簧，弹簧的自然长度为L，平板小车上表面右端长L的部分是光滑的．其余部分是粗糙的．粗糙部分与滑块间的动摩擦因数为μ．
现固定小车，将一质量为m的小滑块A（可视为质点）．将弹簧压缩$\frac{L}{2}$并用轻绳拴住（小滑块不与弹簧连接），此时的弹性势能为E_P．释放小车并烧断拴弹簧的绳，小滑块将在小车上滑动．求：
①弹簧恢复自然长度的瞬间，小滑块及平板小车的速度大小各为多少；
②若要使小滑块最终不从平板小车上掉下．平板小车至少要多长．

Answer 1

分析 ①释放小车并烧断拴弹簧的绳后，小滑块将在小车上滑动，此过程中，小车、滑块和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律列式求解；
②根据能量守恒定律求出粗糙部分的最小长度，进而求出小车的最小长度．

解答 解：①设弹簧恢复自然长度时，滑块与平板小车的速度分别为v₁、v₂，取向左为正，由动量守恒定律得：0=mv₁-2mv₂
解得：v₁=2v₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}×2m{{v}_{2}}^{2}={E}_{P}$
解得：${v}_{1}=2\sqrt{\frac{{E}_{P}}{3m}}$，${v}_{2}=\sqrt{\frac{{E}_{P}}{3m}}$
②设从弹簧恢复自然长度到滑块相对小车静止，滑块相对小车的位移为s，由能量守恒得：E_P=μmgs
解得：s=$\frac{{E}_{P}}{μmg}$，
所以平板车的长度至少为：l=s+L=$\frac{{E}_{P}}{μmg}$+L
答：①弹簧恢复自然长度的瞬间，小滑块及平板小车的速度大小分别为$2\sqrt{\frac{{E}_{P}}{3m}}$和$\sqrt{\frac{{E}_{P}}{3m}}$；
②若要使小滑块最终不从平板小车上掉下，平板小车的长度至少为$\frac{{E}_{P}}{μmg}$+L．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒、机械能守恒的综合，综合性较强，注意使用动量守恒定律时要规定正方向，难度适中．