Question

10．在不受外力或合外力为零的弹性碰撞中，碰撞前后系统同时遵从能量守恒和动量守恒．上述理论不仅在宏观世界中成立，在微观世界中也成立．康普顿根据光子与电子的弹性碰撞模型，建立的康普顿散射理论和实验完全相符．这不仅证明了光具有粒子性，而且还证明了光子与固体中电子的相互作用过程严格地遵守能量守恒定律和动量守恒定律．
（1）根据玻尔的氢原子能级理论，${{E}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}E}_{1}$（其中E₁为氢原子的基态能量，E_n为电子在第n条轨道运行时氢原子的能量），若某个处于量子数为n的激发态的氢原子跃迁到基态，求发出光子的频率．
（2）康普顿在研究X射线与物质散射实验时，他假设X射线中的单个光子与轻元素中的电子发生弹性碰撞，而且光子和电子、质子这样的实物粒子一样，既具有能量，又具有动量（光子的能量hν，光子的动量$\frac{h}{λ}$）．现设一光子与一静止的电子发生了弹性斜碰，如图所示，碰撞前后系统能量守恒，在互相垂直的两个方向上，作用前后的动量也守恒．
a．若入射光子的波长为λ₀，与静止电子发生斜碰后，光子的偏转角为α=37°，电子沿与光子的入射方向成β=45°飞出．求碰撞后光子的波长λ和电子的动量P．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．
b．试从理论上定性说明，光子与固体靶中的电子（电子的动能很小，可认为静止）发生碰撞，波长变长的原因．

Answer 1

分析 （1）通过量子数n的能级值${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$，结合hγ=E_n-E₁即可求出；
（2）a．光子与静止电子碰撞后，动量守恒，能量守恒，通过能量守恒判断光子频率的变化，从而得出波长的变化，通过动量守恒得出碰后光子的波长λ和电子的动量．
b．由能量守恒，结合光子的能量：$E=hγ=\frac{hc}{λ}$即可求出．

解答 解：（1）量子数为n时，能级时的能量为E_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$E₁
由：hγ=E_n-E₁
处于量子数为n的激发态的氢原子跃迁到基态，发出光子的频率：γ=$\frac{（1-{n}^{2}）{E}_{1}}{h{n}^{2}}$
（2）a．如图建立xoy坐标系，

光子与电子碰撞前后，沿x方向的分动量守恒：$\frac{h}{{λ}_{0}}=\frac{h}{λ}cosα+P•cosβ$
光子与电子碰撞后，沿y方向的分动量守恒：$0-\frac{h}{λ}sinα+Psinβ$
代入数据解得：λ=1.4λ₀
所以：P=$\frac{3\sqrt{2}}{7}•\frac{h}{{λ}_{0}}≈0.606\frac{h}{{λ}_{0}}$
b．光子与静止的电子发生碰撞后，光子把一部分的能量传递给电子，即碰撞后光子的能量减小，而光子的能量：
$E=hγ=\frac{hc}{λ}$，光子在真空中传播的过程中普朗克常数h与光速c都是定值，所以光子的能量减小，则光子的波长增大．
答：（1）光子的频率为$\frac{（1-{n}^{2}）{E}_{1}}{h{n}^{2}}$；
（2）a、碰撞后光子的波长λ是1.4λ₀，电子的动量是$0.606\frac{h}{{λ}_{0}}$．
b．光子与固体靶中的电子发生碰撞，子把一部分的能量传递给电子，即碰撞后光子的能量减小，所以波长变长．

点评 本题考查对玻尔理论的理解和应用能力，关键抓住光子能量与能级之间的关系：${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$，解决本题的关键知道辐射或吸收光子的能量等于两能级间的能级差，即E_m-E_n=hv．