Question

如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E₁的场强方向竖直向下，PT下方的电场E₀的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入匀强电场E₀中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E₁后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为

L

2

．不计粒子的重力及它们间的相互作用．试求：
（1）电场强度E₀与E₁；
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离有什么规律？

Answer 1

分析：（1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；
（2）粒子进入电场做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．

解答：解：（1）设粒子在E₀和E₁中的时间为t₁与t₂，到达R时竖直速度为v_y，
则有S=

1

2

at2  v=at 
及 牛顿第二定律，F=qE=ma得：
因L=

1

2

a1

t

2 1

=

1

2

qE0

m

t

2 1

     ①（
又因  

L

2

=

1

2

a2

t

2 2

=

1

2

qE1

m

t

2 2

   ②
而   vy=

qE0

m

t1=

qE1

m

t2    ③
匀速运动，v₀（t₁+t₂）=2L          ④
上述三式联立解得：E₁=2E₀
即E0=

9m v 2 0

8qL

    E1=

9m v 2 0

4qL

（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做匀速运动，故P、R两点间的距离是R、T两点间距离的两倍．即粒子在E₀电场做类平抛运动在PT方向的位移是在E₁电场中的两倍．
设PQ间到P点距离为△y的F处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，
若粒子第一次达PT直线用时△t，水平位移为△x，
则△x=v₀△t     
△y=

1

2

qE0

m

(△t)2  
粒子在电场E₁中可能做类平抛运动后，垂直CD边射出电场，也可能做类斜抛运动后返回E₀电场，在E₀电场中做类平抛运动垂直CD水平射出，或在E₀电场中做类斜抛运动再返回E₁电场，
若粒子从E₁电场垂直CD射出电场，则有 
   (2n+1)△x+

△x

2

=2L （n=0、1、2、3、…） 
解之得：
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

)2=

1

2

qE0

m

(

4L

3(2n+1)v0

)2=

L

(2n+1)2

（n=0、1、2、3、…）
若粒子从E₀电场垂直CD射出电场，则有
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

)2=

1

2

qE0

m

(

2L

3kv0

)2=

L

4k2

  （k=1、2、3、…）
即PF间的距离为

L

(2n+1)2

与

L

4k2

其中n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…）
或 2n

3△x

2

=2L  （n=1、2、3、…）
解之得：△y=

1

2

qE0

m

(

△x

v0

)2=

L

n2

（n=1、2、3、…）
则PF间距为

L

n2

（n=1、2、3、…）
答：
（1）电场强度E0=

9m v 2 0

8qL

 与  E1=

9m v 2 0

4qL

；
（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的间距为

L

n2

（n=1、2、3、…）．

点评：带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径，属于难题．