Question

据报道：“嫦娥一号”在2007年10月下旬发射，嫦娥一号”将在距离月球高为h处绕月球做匀速圆周运动，地球表面重力加速度为g=9.8m/s²．若h等于月球半径r，地球半径为R=6400km，且R：r=3.6：1，地球质量为M与月球质量之比为M：m=81：1，求：
（1）“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动的周期T．（保留两位有效数字）
（2）求月球的第一宇宙速度v．（保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）由万有引力提供向心力的周期公式，可以得到周期的数值
（2）第一宇宙速度对应轨道半径为月球的半径，由万有引力提供向心力的速度公式，带入数据可以得到速度

解答：解：（1）对嫦娥一号，由万有引力提供向心力：
G

mm′

(2r)2

=m′(2r)

4π2

T2

解得：T=2π

8r3 GmT2

又由黄金代换：GM=R²g
解得：T=2π

8Mr3 gmR2T2

代入数据解得：T=1.9×10⁴ s            
（2）由万有引力提供向心力：
G

mm′

r2

=m′

v2

r

解得：v=

Gm r

=

gR2m Mr

代入数据得 v=1.7km/s             
答：（1）“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动的周期T=1.9×10⁴ s  
（2）求月球的第一宇宙速度v=1.7km/s

点评：本题是简单的万有引力定律的应用，只是在带入数值的时候，这是大数量级的计算，应避免在数量级上出错．