Question

（15分）有一种高脚酒杯，如图所示．杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm．在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm．这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物．已知玻璃的折射率，酒的折射率．试通过分析计算与论证解释这一现象．

Answer 1

把酒杯放平，分析成像问题．

1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n₁和n₀＝1．在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成α 角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为θ ，由折射定律和几何关系可得

               (1)

               (2)

在△PAC中，由正弦定理，有

                                        (3)

考虑近轴光线成像，α、i、r都是小角度，则有

               (4)

               (5)

由 (2)、(4)、(5) 式、n₀、n₁、R的数值及，可得

                                          (6)

                                         (7)

由(6)、(7)式有

               (8)

由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于，即为P点的实像．画面将成实像于处．

在△CA P＇中，由正弦定理有

                                          (9)

又有                                            (10)        

考虑到是近轴光线，由(9)?、(10)式可得

                                        (11)

又有

                                         (12)

由以上各式并代入数据，可得

                 (13)         

由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物．

2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n₁和n₂，如图2所示，考虑到近轴光线有

          (14)

代入n₁和n₂的值，可得

         (15)

与(6)式比较，可知    

                  (16)

由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于，即为P点的虚像．画面将成虚像于处．计算可得

                                          (17)

又有

                       (18)

由以上各式并代入数据得

                                     ＝13cm                          （19）

由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm        ．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像．

评分标准:

本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（19）式，给5分，说明“看到”再给3分．