Question

8．电视机中显像管（抽成真空玻璃管）的成像原理主要是靠电子枪产生高速电子束，并在变化的磁场作用下发生偏转，打在荧光屏不同位置上发出荧光而形成像．显像管的原理示意图（俯视图）如图甲所示，在电子枪右侧的偏转线圈可以产生使电子束沿纸面发生偏转的磁场，偏转的磁场可简化为由通电螺线管产生的与纸面垂直的磁场，该磁场分布的区域为圆形（如图乙所示），其磁感应强度B=μNI，式中μ为磁常量，N为螺线管线圈的匝数，I为线圈中电流的大小．由于电子的速度极大，同一电子穿过磁场过程中可认为磁场没有变化，是稳定的匀强磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，电子枪加速电压为U，磁常量为μ，螺线管线圈的匝数N，偏转磁场区域的半径为r，其圆心为O点．当没有磁场时，电子束通过O点，打在荧光屏正中的M点，O点到荧光屏中心的距离OM=L．若电子被加速前的初速度和所受的重力、电子间的相互作用力以及地磁场对电子束的影响均可忽略不计，不考虑相对论效应及磁场变化所激发的电场对电子束的作用．
（1）求电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率；
（2）若电子束经偏转磁场后速度的偏转角θ=60°，求此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流I₀的大小；
（3）当线圈中通入如图丙所示的电流，其最大值为第（2）问中电流的0.5倍．求电子束打在荧光屏上发光所形成“亮线”的长度．

Answer 1

分析 （1）电子在加速电场中，由动能定理求解获得的速度v的大小，洛伦兹力不做功，故此速度大小电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率；
（2）根据几何关系求出临界状态下的半径的大小，结合洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小，进而由磁感应强度B=μNI确定螺线管线圈中电流I₀的大小．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场做匀速直线运动，通过最大的偏转角，结合几何关系求出荧光屏上亮线的长度．

解答 解：（1）设经过电子枪加速电场加速后，电子的速度大小为v．
根据动能定理有：eU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）设电子在磁场中做圆运动的半径为R，运动轨迹如答图乙所示．
根据几何关系有：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{R}$
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有：evB=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
由题知B=μNI₀
解得：${I}_{0}=\frac{\sqrt{6meU}}{3rμeN}$
（3）设线圈中电流为0.5I₀时，偏转角为θ₁，此时电子在屏幕上落点距M点最远．  
此时磁感应强度${B}_{1}=0.5μ{NI}_{0}=\frac{B}{2}$
QUOTE轨迹圆半径${R}_{1}=\frac{mv}{{eB}_{1}}=2R=2\sqrt{3}r$
tan$\frac{{θ}_{1}}{2}=\frac{r}{{R}_{1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
电子在屏幕上落点距M点最远距离y=Ltanθ₁=$\frac{4\sqrt{3}}{11}L$
亮线长度Y=2y=$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$ 
答：（1）电子束经偏转磁场后打到荧光屏上P点时的速率$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流I₀的大小$\frac{\sqrt{6meU}}{3RμeN}$；
（3）电子束打在荧光屏上发光所形成“亮线”的长度亮线长度$\frac{8\sqrt{3}}{11}L$．

点评 考查电子受电场力做功，应用动能定理；电子在磁场中，做匀速圆周运动，运用牛顿第二定律求出半径表达式；同时运用几何关系来确定半径与已知长度的关系．