Question

6．如图是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的OO′轴转动，线圈在转动中保持和外电路电阻R形成闭合电路．已知ab长度为L₁，bc长度为L₂，线圈电阻为r，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．（只考虑单匝线圈，不计其他电阻）
求：（1）线圈转动过程中产生的最大感应电动势E_m；
（2）若线圈经过图示位置时开始计时，写出交变电流的瞬时值表达式；
（3）线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R上通过的电荷量．

Answer 1

分析 （1）矩形线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，先求出转动线速度，根据E_m=BSω求出导线ab和cd因切割磁感线而产生的感应电动势，从而写出瞬时表达式；
（3）求通过的电荷量时，用平均感应电动势；

解答 解：（1）感应电动势的最大值：E_m=BSω=BL₁L₂ω
（2）感应电流的最大值：${I_m}=\frac{E_m}{R+r}=\frac{BSω}{R+r}=\frac{{B{L_1}{L_2}ω}}{R+r}$
所以电流瞬时值表达式：$i={I_m}sinωt=\frac{{B{L_1}{L_2}ω}}{R+r}sinωt$
（3）从图示位置转过90°的过程中：△φ=B△S=BL₁L₂
$△t=\frac{T}{4}=\frac{π}{2ω}$
平均电动势为：$\overline{E}=\frac{△φ}{△t}$
所以电流为：$\overline{I}=\frac{\bar E}{R+r}=\frac{△φ}{（R+r）△t}$
通过的电荷量为：$q=\bar I△t=\frac{△φ}{（R+r）△t}×△t=\frac{△φ}{R+r}=\frac{{B{L_1}{L_2}}}{R+r}$
答：：（1）线圈转动过程中产生的最大感应电动势BL₁L₂ω；
（2）若线圈经过图示位置时开始计时，写出交变电流的瞬时值表达式$i={I_m}sinωt=\frac{{B{L_1}{L_2}ω}}{R+r}sinωt$；
（3）线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R上通过的电荷量$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$

点评 当线圈与磁场相平行时，即线圈边框正好垂直切割磁感线，此时产生的感应电动势最大．求电荷量时，运用交流电的平均值，求产生的热能时，用交流电的有效值