Question

19．如图所示，左边是一能够发射质量为m、电荷量为q的正离子的离子源，离子的发射速度可以忽略，离子源的S、K电极与一N匝线圈连接，线圈放在一可以均匀变化的磁场中，线圈面积为S，线圈平面与磁感应强度B′的方向垂直，图中所示宽度为d的范围内，存在竖直向下的匀强电场，在虚线PQ右侧存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B．离子经S、K间电场加速后以初速度v₀垂直于电场左边界射入偏转电场，离开右边界虚线PQ时偏转角度为θ，轨迹与边界的交点为M．（不计离子的重力）求：
（1）线圈中磁场的磁感应强度B′的变化率和偏转电场的场强E；
（2）离子再次运动到边界虚线PQ时轨迹与边界的交点到M的距离．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，粒子在两电极之间做加速运动，根据动能定理列出方程，即可求出磁感应强度B′的变化率，进入电场作类平抛运动规律求解E
（2）进入磁场做匀速圆周运动，找出圆心，画出轨迹，运用几何关系求出再次运动到边界虚线与边界交点与M的距离．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律有：${E}_{感}^{\;}=N\frac{△B′}{△t}S$…①
电极SK之间的电压为：U=E…②
根据动能定理有：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$…③
$\frac{△B′}{△t}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qNS}$
在电场中做类平抛运动
水平方向：$d={v}_{0}^{\;}t$…④
竖直方向：${v}_{y}^{\;}=at$…⑤
根据牛顿第二定律：qE=ma…⑥
由几何关系：$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$…⑦
联立④⑤⑥⑦得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}tanθ}{qd}$
（2）粒子进入匀强磁场中做匀速圆周运动，设进入磁场时速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
作出运动轨迹图，运用几何关系，△x=2Rcosθ
速度分解得：$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{cosθ}$
解得：$△x=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
答：（1）线圈中磁场的磁感应强度B′的变化$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qNS}$和偏转电场的场强$\frac{m{v}_{0}^{2}tanθ}{qd}$；
（2）离子再次运动到边界虚线PQ时轨迹与边界的交点到M的距$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$．

点评 本题是带电粒子在电场和磁场中运动的综合题，涉及到的知识点非常多，在电场中加速用动能定理解决，电场中的类平抛运动运用运动的合成与分解的方法，磁场中匀速圆周运动关键是画轨迹，求半径，难度适中．