Question

【题目】打井施工时要将一质量可忽略不计的坚硬底座A送到井底，由于A与井壁间摩擦力很大，工程人员采用了如图所示的装置．图中重锤B质量为m，下端连有一劲度系数为k的轻弹簧，工程人员先将B放置在A上，观察到A不动；然后在B上再逐渐叠加压块，当压块质量达到m时，观察到A开始缓慢下沉时移去压块．将B提升至弹簧下端距井口为H0处，自由释放B，A被撞击后下沉的最大距离为h1，以后每次都从距井口H0处自由释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内．

（1）求下沉时A与井壁间的摩擦力大小f和弹簧的最大形变量ΔL；

（2）求撞击下沉时A的加速度大小a和弹簧弹性势能Ep；

（3）若第n次撞击后，底座A恰能到达井底，求井深H．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】试题分析：（1）A开始缓慢下沉时，受力平衡，根据平衡条件求解f，底座质量不计，所以合力为零，结合胡克定律求解；
（2）撞击后AB一起减速下沉，对B，根据牛顿第二定律以及功能关系求解；
（3）A第二次下沉，由功能关系求出下降的距离与第一次下降距离的关系，同理求出第三次下降的距离与第一次下降距离的关系，进而求出第n次下沉过程中向下滑动的距离，再结合数学知识求解．

（1）A开始缓慢下沉时

底座质量不计，所以合力为零，所以始终有

解得

（2）撞击后AB一起减速下沉，对B：

解得

A第一次下沉，由功能关系

解得

（3）A第二次下沉，由功能关系

又

解得

A第三次下沉，由功能关系

解得

同理A第n次下沉过程中向下滑动的距离

所以井底深度

（第2,3，……次撞击功能关系式中没有考虑△L不给分）