Question

【题目】如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3 m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，AB、CD与两圆弧形轨道相切，BQC的半径为r＝1 m，APD的半径为R＝2 m，O2A、O1B与竖直方向的夹角均为θ＝37°.现有一质量为m＝1 kg的小球穿在滑轨上，以Ek0的初动能从B点开始沿BA向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点，初动能Ek0至少多大？

(2)求小球第二次到达D点时的动能；

(3)小球在CD段上运动的总路程．

Answer 1

【答案】(1)30 J (2)12.6 J (3)9.78 m

【解析】(1)设小球恰好过弧形轨道的最高点

由动能定理得：

－mg[(R－Rcos θ)＋Lsin θ]－μmgLcos θ＝0－Ek0

解得：Ek0＝30 J.

(2)小球从B点出发到第一次回到B点的过程中，根据动能定理得，－μmgLcos θ－μmgL＝EkB－Ek0

解得：EkB＝12 J

小球沿BA向上运动到最高点，距离B点为s，

则有EkB＝μmgscos θ＋mgssin θ，

解得：s＝18/13 m

小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为EkD，

mg[(r＋rcos θ)＋ssin θ]－μmgscos θ－μmgL＝EkD－0，

解得：EkD＝12.6 J.

(3)小球第二次到D点时的动能为12.6 J，沿DP弧上升后再返回DC段，到C点时的动能为2.6 J．小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，之后受到摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点，由动能定理得，EkD＝μmgs1，解得：s1＝3.78 m.

小球在CD段上运动的总路程为s＝2L＋s1＝9.78 m.