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精英家教网如图所示,在竖直平面内固定两个很靠近的同心圆形轨道,外轨道ABCD光滑,内轨道A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙,下半部分B′A′D′光滑,一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A,以初速度v0向右运动,球的尺寸略小于两圆间距,已知圆形轨道的半径R=0.32m,取g=10m/s2
(1)若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动,初速度v0至少为多少
(2)若v0=3.8m/s,经过一段时间小球到达最高点,内轨道对小球的支持力F=2N,则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少
(3)若v0=3.9m/s,经过足够长的时间后,小球将在BAD间做往复运动,则小球经过最低点A时受到的支持力为多少?小球在整个运动过程中减少的机械能是多少.
分析:(1)紧贴外圆做圆周运动,在最高点的临界情况是重力提供向心力,根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值.
(2)根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小,根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小.
(3)经足够长时间后,小球在下半圆轨道内做往复运动,根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小,根据能量守恒求出损失的机械能.
解答:解:(1)设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC,则有mg=
m
v
2
c
R

1
2
m
v
2
0
=
1
2
m
v
2
c
+2mgR

代入数据解得:v0=4m/s.
(2)设此时小球到达最高点的速度为vc′,克服摩擦力做的功为W,则:
mg-N=
m
v
2
C
R

-2mgR-W=
1
2
mvc2-
1
2
m
v
2
0

代入数据解得 W=0.164J.
(3)经足够长时间后,小球在下半圆轨道内做往复运动,设小球经过最低点的速度为vA,受到的支持力为NA,则有:
mgR=
1
2
m
v
2
A

NA-mg=
m
v
2
A
R

代入数据解得  NA=6N.
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E,由功能关系有△E=
1
2
m
v
2
0
-mgR

代入数据解得△E=0.881J.
答:(1)要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动,初速度v0至少为4m/s.
(2)小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.164J.
(3)小球经过最低点A时受到的支持力为6N,小球在整个运动过程中减少的机械能是0.881J.
点评:本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律,综合性较强,关键是理清运动过程,抓住临界状态,运用合适的规律进行求解
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