Question

如图所示，一带电粒子从Y轴上的a点以平行于X轴的方向射入第一象限区域，射入的速度为v₀．带电粒子的质量为m，带负电，电荷量为q．为了使带电粒子通过X轴上的b点，可在第一象限的某区域加一个沿Y轴正方向的匀强电场，电场强度为E，电场区域沿Y轴方向无限长，沿X方向的宽度为s．已知Oa=L，O_b=2s，不计带电粒子的重力．
（1）若b点在电场内，要使粒子过b点，求该电场的左边界与b点的距离．
（2）若b点在电场外，在第一象限紧挨电场右侧加一个垂直于XOY平面的磁感应强度为B的匀强磁场，该磁场足够大，使得粒子也能过b点且速度方向沿X轴正方向，求该电场的左边界与b点的距离．

Answer 1

分析：（1）b点在电场内，带电粒子进入电场，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向受竖直向下的电场力作用做匀加速运动，根据运动学关系式解得结果；
（2）粒子的运动过程分为两部分，在电场内做类平抛运动，进入磁场做匀速圆周运动，结合轨迹图和运动规律，由几何关系可求得电场的左边界与b点的距离．

解答：解：（1）带电粒子进入电场后沿X方向做匀速直线运动，沿Y方向做匀加速直线运动；
根据牛顿第二定律得，带电粒子在电场中运动的加速度大小为：
a=

qE

m

 
带电粒子进入电场后在X方向的位移为l，在Y方向的位移为L，如由图所示：根据运动学规律，有

l=v₀t                     
L=

1

2

qE

m

t²                   
消去t，解得：
l=v₀

2mL qE

即该电场的左边界与b点的距离为v₀

2mL qE

；
（2）分析可知，磁场方向应垂直XOY平面向外，粒子的运动轨迹如图所示．

设粒子在磁场中的速率为v，运动半径为R，则
由Bqv=

mv2

R

              
得R=

mv

qB

                
由几何关系可知：
AC=Rsinθ              
所以l=s+AC=s+

mv

qB

sinθ
其中：sinθ=

at

v

=

qEs

mv0v

      
所以：l=s+

mv

qB

?

qEs

mv0v

=s+

Es

Bv0

；
答：（1）电场的左边界与b点的距离v₀

2mL qE

；
（2）电场的左边界与b点的距离s+

Es

Bv0

．

点评：解决本题的关键分析清楚粒子的运动规律，画出轨迹图，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．