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    精英家教网 > 高中物理 > 题目详情
    精英家教网如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m1的小物体自A处由静止释放，m1沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰．
    （1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
    （2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放．
    a．若m1=
    12
    m2，且m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m1能达到的最大高度．
    b．若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发生两次碰撞，求 m2与 m1的比值范围．
    分析：（1）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
    （2）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
    b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
    解答：解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
    m1gR=
    1
    2
    m1
    v
    2
    1
                      ①
    m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
    m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
    联立①②解得：v共=
    v1
    2
    =
    		2gR
    2
             
    m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
    1
    2
    m1
    v
    2
    共
    =m1gh
    解得 h=
    1
    4
    R      
    故m1反弹后能达到的最大高度为：h=
    1
    4
    R    ．
    （2）撤去弹簧及固定装置后．
    a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
    m1v1=m1
    v
    ′
    1
    +m2
    v
    ′
    2
              ③
    1
    2
    m1
    v
    2
    1
    =
    1
    2
    m1(
    v
    ′
    1
    )2    +
    1
    2
    m2(
    v
    ′
    2
    )2              ④
    代入m1=
    1
    2
    m2    ，联系③④可得：
    v
    ′
    1
    =-
    1
    3
    		2gR
    ，负号表示m1向左运动
    此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：
    1
    2
    m1(
    v
    ′
    1
    )2=mgh′
    将
    v
    ′
    1
    带入上式，可得：h′=
    1
    9
    R            
    故碰撞后m1能达到的最大高度为：h′=
    1
    9
    R    ．     
    b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
    m1v1=m1
    v
    ′
    1
    +m2
    v
    ′
    2
           
    1
    2
    m1
    v
    2
    1
    =
    1
    2
    m1(
    v
    ′
    1
    )2    +
    1
    2
    m2(
    v
    ′
    2
    )2           
    解得：
    v
    ′
    1
    =
    (m1-m2)v1
    m1+m2
    ，
    v
    ′
    2
    =
    2m1v1
    m1+m2

    要能发生第二次碰撞的条件是
    v
    ′
    1
    ＜0    ，即m1＜m2；且|
    v
    ′
    1
    |＞
    v
    ′
    2
    ，即|m1-m2|＞2m1，可得
    m2＞3m1 ⑤
    m1从圆弧轨道上滑下，以大小为|
    v
    ′
    1
    |=
    m2-m1
    m1+m2
    v1    的速度与速度为
    v
    ′
    2
    =
    2m1v1
    m1+m2
    的m2发生第二次碰撞，有：
    m1|
    v
    ′
    1
    |+m2
    v
    ′
    2
    =m1
    v
    ″
    1
    +m2
    v
    ″
    2

    1
    2
    m1(
    v
    ′
    1
    )2+
    1
    2
    m2(
    v
    ′
    2
    )2    =
    1
    2
    m1(
    v
    ″
    1
    )2+
    1
    2
    m2(
    v
    ″
    2
    )2
    第二次碰后m1和 m2的速度
    v
    ″
    1
    =
    4m1m2-(m2-m1)2
    (m1+m2)2
    v1         ⑥
    v
    ″
    2
    =
    4m1(m2-m1)
    (m1+m2)2
    v1           ⑦
    不发生第三次碰撞的条件为：|
    v
    ″
    1
    |≤
    v
    ″
    2

    则：-4m1（m2-m1）≤4m1m2-(m2-m1)2≤4m1（m2-m1）
    解不等式-4m1(m2-m1)≤4m1m2-(m2-m1)2
    得：(5-2
    		5
    )m1≤m2≤(5+2
    		5
    )m1                ⑧
    解不等式：4m1m2-(m2-m1)2≤4m1(m2-m1)
    得    m2≥3m1  或m2≤-m1  ⑨（9）
    综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：3＜
    m2
    m1
    ≤5+2
    		5

    故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：3＜
    m2
    m1
    ≤5+2
    		5
    ．
    点评：本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．
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    		2gR
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    （3）整个过程中小球在最低点对外轨的最大压力；
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