Question

7．如图甲所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有两根竖直放置相距为L平行光滑的金属导轨，顶端用一阻直为尺的电阻相连，两导轨所在的竖直平面与磁场方向垂直．一根质量为m的金属棒从静止开始沿导轨竖直向下运动，当金属棒下落h时，速度达到最大，整个过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好．重力加速度为g，导轨与金属棒的电阻可忽略不计，设导轨足够长．求：
（l）通过电阻R的最大电流；
（2）从开始到速度最大过程中，金属棒克服安培力做的功W_A；
（3）若用电容为C的平行板电容器代替电阻R，如图乙所示，仍将金属棒从静止释放，经历时间t的瞬时速度v₁．

Answer 1

分析 （1）将金属棒做匀速运动时，产生的感应电动势最大，通过R的电流最大．由平衡条件和安培力公式结合求解．
（2）由安培力和重力平衡，求出最大速度，再由动能定理求解金属棒克服安培力做的功W_A．
（3）结合牛顿第二定律、电流的定义式和电容的定义式、切割产生的感应电动势公式求出加速度的表达式，得出金属棒做匀加速直线运动，然后根据速度时间公式求出金属棒的速度．

解答 解：（1）设金属棒所受的安培力为F_A．
通过电阻R的最大时，棒做匀速运动，即有 F_A=mg ①
又 F_A=BIL ②
联立得 I=$\frac{mg}{BL}$  ③
（2）由E=BLv…④
I=$\frac{E}{R}$…⑤
由③④⑤得：棒的最大速度v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$ …⑥
由动能定理得：mgh-W_A=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-0…⑦
由⑥⑦得：金属棒克服安培力做功 W_A=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$…⑧
（3）电容器两端电压 U=E …⑨
电容器容纳的电量：q=CU…⑩
流过金属棒的电流 i=$\frac{△q}{△t}$  …⑪
由④⑨⑩⑪得 i=$\frac{BLC△v}{△t}$=BLCa…⑫
由牛顿第二定律得：mg-F_A=ma…⑬
由②⑫⑬得 a=$\frac{mg}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$…⑭
故金属棒做匀加速直线运动，t时刻金属棒的速度 v₁=at=$\frac{mgt}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$…⑮
答：
（l）通过电阻R的最大电流为$\frac{mg}{BL}$；
（2）从开始到速度最大过程中，金属棒克服安培力做的功W_A是mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）将金属棒从静止释放，经历时间t的瞬时速度v₁是$\frac{mgt}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$．

点评 解决本题的关键通过牛顿第二定律、电流的定义式和电容的定义式、切割产生的感应电动势公式得出加速度的表达式，知道金属棒做匀加速直线运动．本题难度较大．