Question

14．如图所示，ABC为竖直放置的半径为R的光滑半圆形绝缘细圆管轨道，B为最低点．有带+Q、-Q电量的两个点电荷分别固定在水平面的P、N两点，PN相距为L，PN连线与轨道面垂直且中点为B点，现把一质点为m，带电量为+q的小球（看成质点）从A点静止释放并沿管内下滑，小球运动到B点时（　　）

• A． 受到电场力大小为$\frac{2kQq}{L^2}$
• B． 受到电场力大小为$\frac{8kQq}{L^2}$
• C． 瞬时速度大小为V_B=$\sqrt{2gR}$
• D． 对管道的压力大小为3mg

Answer 1

分析 小球运动到B点时受到的电场力是+Q、-Q对小球静电力的合力，由库仑定律和力的合成法求解电场力．由于细圆管轨道处于两个点电荷+Q、-Q的电场等势面，所以小球运动过程中，电场力不做功，根据动能定理求小球运动到B点时的瞬时速度．小球在B点时，由牛顿第二定律和向心力公式求出管道对球的竖直方向的分力，结合电场力，根据平行四边形定则求出在B点受到的管道的支持力大小，从而得到球对管道的压力大小．

解答 解：AB、设小球在圆弧形管道最低点B处分别受到+Q和-Q的库仑力大小分别为F₁和F₂．则F₁=F₂=k$\frac{Qq}{（\frac{L}{2}）^{2}}$=$\frac{4kQq}{{L}^{2}}$，方向相同，所以小球运动到B点时受到电场力大小为 F=F₁+F₂=$\frac{8kQq}{L^2}$．故A错误，B正确．
C、管道所在的竖直平面是+Q和-Q形成的合电场中的一个等势面，小球在管道中运动时，电场力和管道的弹力对小球都不做功，根据动能定理得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，得 v_B=$\sqrt{2gR}$．故C正确．
D、设在B点管道对小球沿竖直方向的支持力的分力为N_By，
在竖直方向，对小球应用牛顿第二定律得  N_By-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得  N_By=3mg
设在B点管道对小球在水平方向的压力的分力为N_Bx，则N_Bx=F=$\frac{8kQq}{L^2}$．
圆弧形管道最低点B处对小球的支持力大小为  N_B=$\sqrt{{N}_{Bx}^{2}+{N}_{By}^{2}}$=$\sqrt{（3mg）^{2}+（\frac{8kQq}{{L}^{2}}）^{2}}$＞3mg
根据牛顿第三定律可得小球对圆弧管道最低点B的压力大小为 N′_B=N_B＞3mg．故D错误．
故选：BC

点评 此题属于电场与重力场的复合场，关键要知道管道所在的竖直平面是+Q和-Q形成的合电场中的一个等势面，小球运动过程中，电场力不做功．要注意，在B点电场力与重力、支持力不在同一条直线上，要根据正交分解法研究支持力的合力．