Question

2．我国于2010年启动探月计划--“嫦娥工程”，同学们也对月球有了更多的关注．若已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出：
（1）地球的质量M；
（2）月球绕地球运动的轨道半径r．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量．
（2）根据万有引力提供向心力，结合周期的大小求出月球绕地球运动的轨道半径．

解答 解：（1）地球表面的物体所受的万有引力等于物体重力，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球绕地球运动的轨道半径r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
答：（1）地球的质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要推论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．