Question

11．如图所示，在距水平地面高h₁=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能E_p．现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度v₁向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面的高h₂=0.6m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.8m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空气阻力忽略不计．试求：

（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能E_p
（2）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，且只会发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．

Answer 1

分析 （1）先要清楚物块的运动过程，A到B的过程为平抛运动，已知高度运用平抛运动的规律求出时间．知道运动过程中能量的转化，弹簧的弹性势能转化给物块的动能．
（2）从A点到最后停在轨道CD上的某点p，物块的动能和重力势能转化给摩擦力做功产生的内能．根据能量守恒列出能量等式解决问题．由于p点的位置不确定，要考虑物块可能的滑过的路程．

解答 解：（1）小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，
小物块由A运动到B的时间为：t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（1.2-0.6）}{10}}$s=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s≈0.346s   
根据图中几何关系可知：h₂=h₁（1-cos∠BOC），
解得：∠BOC=60°
根据平抛运动规律有：tan60°=$\frac{gt}{v1}$，
解得：v₁=$\frac{gt}{tan60°}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{5}}{\sqrt{3}}$=2m/s         
根据能的转化与守恒可知，原来压缩的弹簧储存的弹性势能为：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$=2J
（2）依据题意知，①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度趋于零，根据能量关系有：
mgh₁+E_p＞μmgL
代入数据解得：μ＜$\frac{1}{2}$
②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，设物块碰前在D处的速度为v₂，
由能量关系有：mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墙后返回至C处的动能为：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL
可知即使μ=0，有：
$\frac{1}{2}$mv₂²=14J   
 $\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物块不可能返滑至B点．
故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，
因此有：$\frac{1}{8}$mv₂²≤2μmgL，
联立解得：μ≥$\frac{1}{18}$
综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：（1）压缩的弹簧在被锁扣K锁住时所储存的弹性势能E_p是2J．
（2）μ的取值范围：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

点评 该题中涉及的物理过程比较多，应该先清楚研究对象的运动过程，根据运动性质利用物理规律解决问题．
关于能量守恒的应用，要清楚物体运动过程中能量的转化．