Question

19．利用万有引力定律“称量”地球的质量．
（1）万有引力定律的数学表达式是F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（2）英国物理学家卡文迪许在实验室测量了几个铅球之间的万有引力，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”，他对“称量”地球质量做出的贡献是测出了引力常量．
（3）“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”这是著名文学家马克•吐温对万有引力理论成就的高度称赞．地球的质量不可能用天平称量，但可以通过万有引力定律来“称量”．
甲同学说：如果知道地球半径R、引力常量G、地球表面的重力加速度g，就能“称量”出地球质量．
乙同学说：如果知道人造卫星绕地球的运行周期T、轨道半径r、引力常量G，也能“称量”出地球质量．
请你任选一位同学的说法，推导出“称量”地球质量M的表达式．并说明你进行这种推导的简化条件．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和地球的半径求出地球的质量．根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量．

解答 解：（1）万有引力定律的数学表达式是F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（2）卡文迪许把自己的实验说成是“称量地球的质量”，他对“称量”地球质量做出的贡献是测出了引力常量．
（3）对甲，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
对乙，根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
故答案为：（1）$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，（2）引力常量，（3）甲，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；乙，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．