Question

16．质量分别为2m和m的滑块1和滑块2通过一根细线拴接在压缩的弹簧两端，某一刻细线剪断后滑块1沿水平面向左运动，滑块2向右从斜面底端开始沿斜面向上运动，忽略滑块2沿斜面向上运动前的速度大小变化，当斜面倾角θ=$\frac{π}{6}$时，滑块1和滑块2滑行的最大距离之比为$\sqrt{3}$：4，当倾斜角度变化时，滑块沿斜面滑行的最大距离也会随之变化．重力加速度为g，水平部分和斜面部分动摩擦因数相同．
（1）滑块和斜面之间的动摩擦因数；
（2）假设滑块2的初速度为v₀，当斜面倾角为多大时，滑块滑行的最大距离最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）对于细线剪断后弹簧弹开两滑块的过程，由于系统的合外力为零，所以系统的机械能守恒．由动量守恒定律求得两个滑块获得的速度大小之比．对滑块1和滑块2滑行的过程，分别运用动能定理列式，即可求得滑块和斜面之间的动摩擦因数；
（2）对滑块2在斜面上上滑的过程，运用动能定理列式，结合数学知识求滑块滑行距离的最小值．

解答 解：（1）设细线剪断后滑块1和滑块2的速度大小分别为v₁和v₂．取向左为正方向，由动量守恒定律得：
    2mv₁-mv₂=0
解得 v₁：v₂=1：2
对滑块1和滑块2滑行的过程，分别由动能定理得：
-μ•2mgs₁=0-$\frac{1}{2}$×2mv₁²．
-（mgsinθ+μmgcosθ）s₂=0-$\frac{1}{2}$mv₂²．
据题有 s₁：s₂=$\sqrt{3}$：4．
联立解得 μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）对滑块2在斜面上上滑的过程，运用动能定理得：
-（mgsinθ+μmgcosθ）s=0-$\frac{1}{2}$mv₀²．
得 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
其中 tanα=μ，则得 α=30°
由数学知识可知：当θ+α=90°，即θ=60°时滑块滑行的最大距离最小，最小值是 s_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：
（1）滑块和斜面之间的动摩擦因数是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）假设滑块2的初速度为v₀，当斜面倾角为60°时，滑块滑行的最大距离最小，最小值是$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

点评 解决本题的关键是要知道涉及力在空间上积累时运用动能定理研究物体滑行的距离，采用数学上函数法求滑块滑行距离的最小值．