Question

10．某天体A有两个卫星P和Q，在A的万有引力作用下P和Q在同一平面内绕A沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r_P：r_Q=1：4，如图所示．
（1）卫星P和Q的周期之比T_P：T_Q等于多少？
（2）若已知卫星Q的周期T_Q，求从图示位置（AP⊥AQ）开始，再过多长时间P与Q第一次相遇（距离最近）．

Answer 1

分析 （1）卫星绕A做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，由此列式得到周期的表达式，再求解周期之比．
（2）从图示位置（AP⊥AQ）开始P与Q第一次相遇时P比Q多转过$\frac{3}{4}$周，由此列式求解．

解答 解：（1）卫星由A施加的万有引力提供向心力，则
对于P：$\frac{G{M}_{A}{m}_{P}}{{r}_{P}^{2}}$=m_P$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{P}^{2}}{r}_{P}$
对于Q：$\frac{G{M}_{A}{m}_{Q}}{{r}_{Q}^{2}}$=m_Q$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{Q}^{2}}{r}_{Q}$
解得$\frac{{T}_{P}}{{T}_{Q}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{P}}{{r}_{Q}}）^{3}}$
得 T_P：T_Q=1：8   
（2）经过时间t后P比Q多运动$\frac{3}{4}$周，即第一次相遇，则有
  $\frac{t}{{T}_{P}}$=$\frac{t}{{T}_{Q}}$+$\frac{3}{4}$
且8T_P=T_Q
得t=$\frac{3{T}_{Q}}{28}$
答：（1）卫星P和Q的周期之比T_P：T_Q等于1：8．
（2）若已知卫星Q的周期T_Q，从图示位置（AP⊥AQ）开始，再过$\frac{3{T}_{Q}}{28}$时间P与Q第一次相遇．

点评 本题关键根据向心力来源列式，即可求出周期之比，也可以根据开普勒第三定律求周期之比．