Question

3．如图所示，一光滑轨道由水平轨道和圆弧形轨道构成，放在竖直平面内，圆弧形轨道半径分别为R和2R，在水平轨道上有A、B两物体，A、B中间隔有一轻弹簧，用细线连接A、B并使轻弹簧处于压缩状态．若剪断细线，A、B两物体能分别运动到左右两圆弧形轨道的最高点，且对轨道压力都为零．若不计任何摩擦，则A、B两物体的质量m_A和m_B之比为$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 能到达半圆形轨道最高点的临界条件是v≥$\sqrt{gr}$，恰好能通过最高点说明在最高点重力完全提供向心力，系统满足动量守恒，据此求解即可．

解答 解：相互作用的系统满足动量守恒，以A的速度方向为正方向，得：
m_Av_A-m_Bv_B=0
最高点：对轨道的压力为0，所以根据牛顿第二定律：
A：m_Ag=$\frac{{{m}_{A}v}_{1}^{2}}{R}$
B：m_Bg=$\frac{{{m}_{B}v}_{2}^{2}}{2R}$
根据动能定理有：
$\frac{{{m}_{A}v}_{A}^{2}}{2}$-$\frac{{{m}_{A}v}_{1}^{2}}{2}$=2m_AgR
$\frac{{{m}_{B}v}_{B}^{2}}{2}$-$\frac{{{m}_{B}v}_{2}^{2}}{2}$=4m_BgR
联立解得m_A：m_B=$\sqrt{2}$：1
故答案为：$\sqrt{2}$：1，

点评 小球刚好到达圆管形轨道最高点的条件是：到达最高点时速度为零；应用牛顿第二定律、动量守恒定律即可正确解题．