Question

12．如图所示为一玻璃球的截面图，其半径为R，O为球体的球心，AB为截面圆的直径．在A点放一个能发某种单色光的点光源，照射球体内各个方向，只有部分光能从球体中射出，在此截面上，只有圆弧NBN′上有光射出，NN′连线垂直AB．已知从M点折射出的光线恰好平行AB，AM与AB的夹角为θ，求N、N′两点间的距离．

Answer 1

分析 由几何知识求出光线从M点折射时的入射角和折射角，求出折射率．光线AN恰好在N点发生全反射，∠ANO为临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C．运用几何知识求解N、N′两点间的距离．

解答 解：设光线AM在M点发生折射对应的入射角为i，折射角为r．
由几何知识可知：i=θ，r=2θ，
根据折射定律有：n=$\frac{sinr}{sini}$
光线AN恰好在N点发生全反射，则∠ANO为临界角C．有：
sinC=$\frac{1}{n}$
由几何知识可知，等腰三角形NON′中，NN′的距离为：
NN′=2Rsin2C=4RsinCcosC
联立以上各式解得：NN′=$\frac{R\sqrt{4co{s}^{2}θ-1}}{co{s}^{2}θ}$
答：N、N′两点间的距离为$\frac{R\sqrt{4co{s}^{2}θ-1}}{co{s}^{2}θ}$．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是解题的基础，同时要掌握全反射的条件和临界角公式，运用几何关系分析光线的偏折角与折射角和入射角的关系是本题的关键．