Question

12．如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． 环到达B处时，重物上升的高度h=$\sqrt{2}d$
• B． 环到达B处时，环与重物的速度大小满足${v_物}=\sqrt{2}{v_环}$
• C． 环到达B，重物的速度大小${v_物}=\frac{{\sqrt{（6-4\sqrt{2}）gd}}}{2}$
• D． 环从A到达B的过程中，环克服轻绳拉力做的功（$\sqrt{2}$-1）mgd

Answer 1

分析 环刚开始释放时，重物由静止开始加速．根据数学几何关系求出环到达B处时，重物上升的高度．对B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，从而求出环在B处速度与重物的速度之比．环和重物组成的系统机械能是守恒．根据系统的机械能守恒求出环到达B时的速度，再由动能定理求解环克服轻绳拉力做的功．

解答 解：A、根据几何关系有，环从A下滑至B点时，下降的高度为 d，则重物上升的高度h=$\sqrt{2}$d-d=（$\sqrt{2}$-1）d，故A错误；
B、环到达B处时，对环B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，环在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v_环cos45°=v_物，所以有v_环=$\sqrt{2}$v_物，故B错误；
C、环下滑过程中无摩擦力做功，故系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒有：mgd-2mg（$\sqrt{2}$-1）d=$\frac{1}{2}m{v}_{环}^{2}$+$\frac{1}{2}•2m{v}_{物}^{2}$，又v_环=$\sqrt{2}$v_物，联立解得${v_物}=\frac{{\sqrt{（6-4\sqrt{2}）gd}}}{2}$．故C正确．
D、环从A到达B的过程中，对环，运用动能定理得 mgd-W=$\frac{1}{2}m{v}_{环}^{2}$，解得环克服轻绳拉力做的功 W=$\frac{1+2\sqrt{2}}{4}$mgd．故D错误．
故选：C

点评 解决本题的关键知道系统机械能守恒，知道环沿绳子方向的分速度的等于重物的速度．