Question

20．如图所示，由半径为R的$\frac{3}{4}$光滑圆周和倾角为45°的光滑斜面组成的轨道固定在竖直平面内，斜面和圆周之间由小圆弧平滑连接．一小球恰能过最高点，并始终贴着轨道内侧顺时针转动．则小球通过斜面的时间为（重力加速度为g）（　　）

• A． 2$\sqrt{gR}$
• B． 2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． （2$\sqrt{2}$-2）$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． （$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$）$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 分析小球在光滑轨道上滑行，顺时针从内侧通过斜面，从题条件可知，小球在斜面上做匀加速直线运动，因为加速度恒定，初速度越小通过斜面的时间越长，根据小球在圆周轨道内侧能做圆周运动的条件判断到达斜面项端时小球的最小速度，从而再根据运动学求出小球运动的时间即可．

解答 解：如图，小球能在圆周内侧斜面做圆周运动，通过圆周最高点的速度$v≥\sqrt{gR}$，则根据动能定理，可求出小球到达斜面顶端时的速度v₁，有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：${v}_{1}=\sqrt{{v}^{2}+2gR}$
要求小球通过斜面时间最长，要求v₁尽可能小，根据速度$v≥\sqrt{gR}$的条件可知，v₁的最小值等于${v}_{1}=\sqrt{3gR}$
物体在光滑斜面上下滑时，沿斜面下滑的加速度a=gsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}g$，已知小球在斜面上做匀加速运动的初速度${v}_{1}=\sqrt{3gR}$，加速度a=$\frac{\sqrt{2}}{2}g$，位移x=$\sqrt{2}R$，根据运动学公式可以求出小球通过斜面的最长时间为：
t=$（\sqrt{10}-\sqrt{6}）\sqrt{\frac{R}{g}}$，故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键是认识小球能圆内侧轨道做圆周运动时能过通过最高点的条件是$v≥\sqrt{gR}$从而得求小球滑上斜面时的最小速度，再根据运动学公式求出最小时间．