Question

3．半径为2r的圆形金属导轨固定在一水平面内，一根长也为2r、电阻为R的金属棒OA一端与金属导轨接触良好，另一端固定在中心转轴上，现有方向（俯视）如图所示、大小为B₁的匀强磁场，中间半径为r的地方无磁场．另有一水平金属导轨MN用导线连接金属圆环，M′N′用导线连接中心轴，导轨上放置一根金属棒CD，其长度L与水平金属导轨宽度相等，金属棒CD的电阻2R，质量为m，与水平导轨之间的动摩擦因数μ，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场B₂中，金属棒CD通过细绳、定滑轮与质量也为m的重物相连，重物放置在水平地面上．所有接触都良好，金属棒CD受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略其它摩擦和其它电阻，重力加速度取g；

（1）若金属棒OA以角速度ω₀顺时针转动（俯视），求：感应电动势及接在水平导轨上的理想电压表的电压；
（2）若金属棒OA顺时针转动（俯视）的角速度随时间ω=kt变化，求：重物离开地面之前支持力随时间变化的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出导体棒转动切割磁感线产生的感应电动势，由闭合电路欧姆定律求电流，由欧姆定律求出导体棒两端的电压，即电压表的电压；
（2）分两种情况讨论，${F}_{安}^{\;}≤μmg$和${F}_{安}^{\;}＞μmg$，分别求出重物离开地面之前支持力随时间变化的表达式

解答 解：（1）感应电动势$E={B}_{1}^{\;}Lv={B}_{1}^{\;}r\frac{2{ω}_{0}^{\;}r+{ω}_{0}^{\;}r}{2}$=$\frac{3}{2}{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
感应电流$I=\frac{E}{3R}=\frac{{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}}{2R}$
电压表示数${U}_{V}^{\;}=I×2R={B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
（2）电流$I=\frac{E}{3R}=\frac{{B}_{1}^{\;}ω{r}_{\;}^{2}}{2R}=\frac{{B}_{1}^{\;}k{r}_{\;}^{2}t}{2R}$
金属棒CD受到的安培力${F}_{安}^{\;}={B}_{2}^{\;}IL=\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}$，方向水平向左
重物离开地面之前受力平衡${F}_{N}^{\;}+{F}_{T}^{\;}=mg$
当F_安≤μmg时即   $t≤\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$   F_T=0
所以F_N=mg    
当 F_安＞μmg时即 $t＞\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$    
${F}_{T}^{\;}={F}_{安}^{\;}-μmg$
所以${F}_{N}^{\;}=mg-\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}+μmg$
答：（1）若金属棒OA以角速度ω₀顺时针转动（俯视），感应电动势为$\frac{3}{2}{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$，接在水平导轨上的理想电压表的电压为${B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$；
（2）若金属棒OA顺时针转动（俯视）的角速度随时间ω=kt变化，重物离开地面之前支持力随时间变化的表达式
当$t≤\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$            ${F}_{N}^{\;}=mg$
当$t＞\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$             ${F}_{N}^{\;}=mg-\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}+μmg$

点评 解决本题的关键是要能灵活运用转动切割感应电动势公式，对转动切割的导体棒，其感应电动势为$E=BL\overline{v}$．