Question

5．如图所示，MN为水平放置的两块平行金属板，相距d，两板间匀强磁场磁感应强度为B，方向如图示．电源电阻为r，滑动变阻器a、b间阻值为R．一个带电量为-q、质量为m的粒子从左端两板中央水平飞入，不计重力．求：
（1）K断开，带电粒子速度v₀多大时，才能恰沿$\frac{1}{4}$圆弧打在金属板上，打在哪块板上？
（2）K闭合后，变阻器滑动头c移到中点处，带电粒子仍以速度v₀射入，恰匀速直线运动，电源电动势ε=？
（3）K闭合后，将c移到距a端$\frac{1}{3}$处，带电粒子仍以速度v₀射入，它在距金属板$\frac{d}{4}$处飞出，飞出时的速度是多大？

Answer 1

分析 （1）K断开时，粒子进入磁场做匀速圆周运动，当粒子垂直打在金属板上时，轨迹半径为$\frac{1}{2}$d，根据牛顿第二定律，结合洛伦兹力公式，最后由左手定则来判定洛伦兹力的方向，即可求解；
（2）K闭合时，粒子做匀速直线运动时，洛伦兹力等于电场力，再由U=Ed、电阻与电压的关系，即可求解．
（3）先根据电路知识求出MN间的电压，再由动能定理求解．

解答 解：（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动，当粒子垂直打在金属板上时，
由几何关系可知，粒子的运动半径：R=$\frac{d}{2}$
根据洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得初速度为：v₀=$\frac{qBd}{2m}$．
根据左手定则，可知，负电粒子受到的洛伦兹力的方向向下，因此粒子偏向N极板；
（2）闭合后回路中的总电流为：I=$\frac{E}{R+r}$
两板间的电压为：U=$\frac{R}{2}•$I=$\frac{ER}{2（R+r）}$
因为粒子做匀速直线运动，洛伦兹力等于电场力，则有：
qv₀B=q$\frac{U}{d}$
由以上几式解得电源电动势：E=$\frac{（R+r）q{B}^{2}{d}^{2}}{mR}$
（3）据题意有，两板间的电压：U′=$\frac{1}{3}$U=$\frac{ER}{3（R+r）}$
粒子射出板间由动能定理有：q•$\frac{1}{4}$U′=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v=$\frac{\sqrt{3}Bqd}{6m}$
答：（1）K断开，带电粒子速度$\frac{qBd}{2m}$时，才能恰沿$\frac{1}{4}$圆弧打在金属板上，打在N板上；
（2）K闭合后，变阻器滑动头c移到中点处，带电粒子仍以速度v₀射入，恰匀速直线运动，电源电动势$\frac{（R+r）q{B}^{2}{d}^{2}}{mR}$；
（3）K闭合后，将c移到距a端$\frac{1}{3}$处，带电粒子仍以速度v₀射入，它在距金属板$\frac{d}{4}$处飞出，飞出时的速度是$\frac{\sqrt{3}Bqd}{6m}$．

点评 此题关键要掌握磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，电路中正确运用闭合电路欧姆定律．在匀强电场中偏转问题，求速度可以运用动能定理，也可以根据运动的合成和分解法求解．