Question

15．如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值未知的电阻R．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25． 
（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；
（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该稳定速度的大小；
（3）在上问中，若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）开始下滑时，速度为零，无感应电流产生，因此不受安培力，故根据牛顿第二定律可直接求解结果．
（2）金属棒下滑速度达到稳定时，金属棒所受合外力为零，根据平衡条件求出安培力，然后根据公式P=Fv求解．
（3）结合第（2）问求出回路中的感应电流，然后根据电功率的公式求解．

解答 解：（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma ①
由①式解得a=10×（O.6-0.25×0.8）m/s²=4m/s²　　　　　　 ②
故金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小为4m/s²．
（2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡
mgsinθ一μmgcosθ一F=0　　　　　　③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率：P=Fv　　 ④
由③、④两式解得$v=\frac{P}{F}=\frac{8}{0.2×10×（0.6-0.25×0.8）}m/s=10m/s$ ⑤
故当金属棒下滑速度达到稳定时，棒的速度大小为10m/s．
（3）设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B　　$I=\frac{vBl}{R}$⑥
P=I²R　　　　　　⑦
由⑥、⑦两式解得：$B=\frac{{\sqrt{PR}}}{vl}=\frac{{\sqrt{8×2}}}{10×1}T=0.4T$⑧
磁场方向垂直导轨平面向上．
故磁感应强度的大小为0.4T，方向垂直导轨平面向上．
答：（1）金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小为4m/s²；
（2）该稳定速度的大小为10m/s；
（3）若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，磁感应强度的大小为0.4T；方向垂直导轨平面向上

点评 本题考查导体切割磁感线的与受力及能量结合问题，解这类问题的突破口为正确分析安培力的变化，根据运动状态列方程求解．