Question

5．在光滑水平面上有A、B两个小球，质量均为m=1Kg，半径均为r=5cm，小球A从很远处以V₀=2m/s的速度向静止的B球运动，某时刻两球间开始有F=2N的恒引力作用，再经过一段时间，两球间距离缩小了4m，此后两球间开始有F=2N的恒斥力作用，那么：
（1）两球从开始有引力到开始有斥力经过了多少时间？
（2）为了使两球不相碰，开始有斥力时两球球心间距离应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求得两球的加速度，由位移公式和位移之和等于4m列式求解时间．
（2）两球间开始有斥力后，A球先做匀减速运动，B球先做匀减速运动到速度为零，后再反方向加速，两球速度相等之前，两球间的距离一直减小，之后就逐渐增大，如果在两球速度相等之前不相碰，以后就不会相碰．根据速度公式和速度相等的关系列式，求解出两球开始时有斥力时的速度，运用运动学速度位移关系公式求解即可．

解答 解：（1）设该段时间为t，在这段时间内，A、B两球均做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：
${a_A}={a_B}=\frac{F}{m}=2m/{s^2}$
${S_A}={v_0}t+\frac{1}{2}{a_A}{t^2}$${S_B}=\frac{1}{2}{a_B}{t^2}$
根据题意：S_A+S_B=4m
联立以上方程可得：t=1s（t=-2s不合题意，舍去）
（2）设两球开始有斥力作用时的速度大小分别是v_A、v_B则有：v_B=a_Btv_A=v₀+a_At
A球做匀减速运动，B球先做匀减速运动到速度为零后再反方向加速，两球速度相等之前，两球间的距离一直减小，之后就逐渐变大，如果在两球速度相等之前不相碰，以后就不会相碰．设这段时间为t′，共同的速度为v，两球加速度大小仍相同，有：
$a_A^'=a_B^'=\frac{F}{m}=2m/{s^2}$
v=-v_B+a_B′t′，v=v_A-a_A′t′，
取v_A的方向为正方向，联立以上方程得：
${v_A}=4m/s{\;}^{\;}{v_B}=2m/s{\;}^{\;}v=1m/s$
${S_A}=\frac{{v_A^2-{v^2}}}{2a_A^'}$${S_B}=\frac{{v_B^2-{v^2}}}{2a_B^'}$
不相碰应满足：S_A+S_B+2r≤S
代入数据可得：S≥4.6m．
答：（1）两球从开始有引力到开始有斥力经过了1s．
（2）为了使两球不相碰，开始有斥力时两球球心间距离应满足S≥4.6m．

点评 解决本题的关键是抓住两球的相互作用力是恒力，两球都做匀变速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式分析两球的运动过程，抓住两球速度相同时，相距最远是关键．