Question

【题目】空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz，如图所示，匀强电场沿x方向，电场强度，匀强磁场沿z方向，磁感应强度，E0、B0分别为已知常量，分别为x方向和z方向的单位矢量。

（1）有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子，同时从Oyz平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz平面内，速度的大小和方向各不相同，问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内。

（2）现在该区域内再增加一个沿x方向随时间变化的匀强电场，电场强度，式中，若有一电荷量为正q、质量为m的粒子，在t=0时刻从坐标原点O射出，初速度v0在Oyz平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场。

Answer 1

【答案】（1）粒子运动的周期与粒子在y方向的初速度无关．经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面.（2）

【解析】

1．根据题意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，设它们为和.因为粒子在z方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z方向以初速度作匀速运动.

粒子在Oxy面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y方向的初速度表示为

(1)

其中

(2)

沿y负方向．与相关的磁场力

(3)

沿x负方向.粒子受到的电场力

(4)

沿x正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为的速度沿y负方向运动．除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度

(5)

沿y正方向，与相关的磁场力使粒子以速率在Oxy面内作匀速圆周运动，以表示圆周运动的半径，有

(6)

可得

(7)

由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期

(8)

(8)式表明，粒子运动的周期与粒子在y方向的初速度无关．经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面.

2．增加的电场对粒子在Oxy平面内的运动无影响，但粒子在z方向要受到此电场力作用．以表示在此电场力作用下的加速度，有

(9)

或

(10)

这是简谐运动的加速度，因而有

（11）

由(10)、（11）可得

(12)

因未增加电场时，粒子在z方向作初速度为的匀速运动，增加电场后，粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有

（13）

粒子在Oxy平面内的运动不受电场的影响．设为粒子在Oxy平面内作圆周运动的角速度，则有

(14)

由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t的变化关系

(15)

(16)

考虑到粒子在y方向还具有速度为的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律：

(17)

(18)

(19)