Question

14．如图所示，一半径为R的绝缘筒中存在有磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m，电量为q（不计重力）的正粒子以速度v从圆筒上小孔c处沿直径方向射入筒内，若粒子经与筒壁多次碰撞后又从c孔飞出（不计碰撞能量损失及碰撞时间），要使粒子在筒中运动时间最短，则粒子射入圆筒的速率v应为（　　）

• A． $\frac{qBR}{m}$
• B． $\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$
• C． $\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}qBR}{m}$

Answer 1

分析 粒子与桶可以碰撞若干次，列出碰撞n次的时间表达式，分析出碰撞时间最短的一种情况，即碰撞两次，画出运动的轨迹，粒子与桶碰撞两次再返回C点飞出，运动时间最短，求出半径，根据半径公式算出速度．

解答 解：粒子进入圆形磁场区域做匀速圆周运动，设至少碰撞两次才能返回C点，圆周分成三等分（如图），设碰撞n次，磁场区域的圆周分成（n+1）等分，每段轨迹弧长对应的圆心角$180°-\frac{360°}{n+1}$
运动总时间为：$t=（n+1）\frac{180°-\frac{360°}{n+1}}{360°}T=\frac{（n-1）T}{2}$（n≥2）
当n=2时间最短，即碰撞两次，图示情况，
根据几何关系$tan60°=\frac{r}{R}$
得$r=\sqrt{3}R$…①
根据洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{qB}$…②
联立①②式得：$v=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
故选：C

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，关键是画出运动轨迹，解题的核心原理是洛伦兹力提供向心力，利用几何知识求出半径，准确作图明确题意就能顺利解答出来．