Question

已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．

Answer 1

（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足

GMm

R2

=mg，
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即

GMm

R2

=m

v 21

R2

或m

v 21

R2

=mg，
联立解得：v₁=

Rg

．
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，
联立
解得：r=

3	gR2T2 4π2

．
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=

4

3

πR³
地球的平均密度ρ=

M

V

，联立解得：ρ=

3g

4πGR

．

答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小为

Rg

；
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为

3	gR2T2 4π2

；
（3）地球平均密度的ρ表达式为

3g

4πGR

．