Question

【题目】某同学设计了如图所示的趣味实验来研究碰撞问题，用材料和长度相同的不可伸长的轻绳依次将5个大小相同、质量不等的小球悬挂于水平天花板下方，且相邻的小球静止时彼此接触但无相互作用力，小球编号从左到右依次为1、2、3、4、5，每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍， ，所有小球的球心等高。现将1号小球由最低点向左拉起高度h，保持绳绷紧状态由静止释放1号小球，使其与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞……。所有碰撞均为在同一直线上的正碰且无机械能损失。已知重力加速度为g，空气阻力、小球每次碰撞时间均可忽略不计。

（1）求1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小；

（2）求第5个球被第4个小球碰后的速度；

（3）摆线长为L=16h，在第5个球右侧偏离竖直方向成θ=60°角的虚线上的A点钉了一个钉子，则A距悬点的距离与L的比例系数p满足什么条件时，第5个小球能绕A点做完整的圆周运动。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）P≥

【解析】（1）设1号小球的质量为m1，碰前的速度为v1，

对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒有 ①

解得： ②

（2）设1号、2号小球碰撞后的速度分别为v1′和v2，取水平向右为正方向。

对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有 ③

根据机械能守恒有 ④

解得：

设2号、3号小球碰撞后的速度分别为v2′和v3，

对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有

根据机械能守恒有

同理可解得：3号小球被碰后的速度

由以上规律可推知5号小球被碰后的速度 ⑤

解得 ⑥

（3）5号小球绕钉子A做完整的圆周运动在最高点至少有 ⑦

第5个小球从最底点运动到圆周的最高点根据机械能守恒

可知 ⑧

解得 ⑨

所以有P≥小球能绕A点做完整的圆周运动。 ⑩