Question

【题目】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1=2R，金属圆筒轴线与磁场平行．金属圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电．现有一电子枪对准金属圆桶中心O射出电子束，电子束从静止开始经过加速电场后垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e．电子重力忽略不计．求：

（1）最初金属圆筒不带电时，则
a．当加速电压为U时，电子进入磁场时的速度大小；
b．加速电压满足什么条件时，电子能够打到圆筒上；
（2）若电子束以初速度v0进入磁场，电子都能打到金属圆筒上（不会引起金属圆筒内原子能级跃迁），则当金属圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用和金属筒的电阻，求此时金属圆筒的电势φ和金属圆筒的发热功率P．（取大地电势为零）

Answer 1

【答案】
（1）

解：a．设电子经过电场加速后的速度为v1，由动能定理，有：

解得：

b．令电子恰好打在圆筒上时，加速电压为U0，设电子进入磁场时速度为v2，轨道半径为r，做出电子的轨迹如图所示，O2为轨道的圆心．

由几何关系得：

r2+（2R）2=（r+R）2

解得：

磁偏转过程，根据牛顿第二定律，有：

直线加速过程，根据动能定理，有：

解得：

所以当 时，电子能够打到圆筒上

（2）

解：当圆筒上的电量达到相对稳定时，圆筒上的电荷不再增加，此时通过r0的电流方向向上．

根据欧姆定律，圆筒跟地面间的电压大小为：

U1=Ir0

由0﹣φ=U1可得：

φ=﹣Ir0

单位时间内到达圆筒的电子数：

故单位时间内到达圆筒上的电子的总能量：

单位时间内电阻消耗的能量：

所以圆筒的发热功率：

P=E﹣Er= ﹣I2r0

【解析】（1）a．根据动能定理对直线加速过程列式求解即可；
b．先作出电子恰好打在圆筒上的临界轨迹，结合几何关系得到轨道半径；然后根据牛顿第二定律并结合洛伦兹力提供向心力列式；最后联立求解即可；（2）先根据欧姆定律求解电阻r0的电势差，再根据电势差的定义求解金属圆筒的电势；
根据电荷守恒定律求解单位时间内到达圆筒上的电子数目，得到电子提供的总能量，根据焦耳定律求解电阻R0的单位时间热量，最后根据能量守恒定律求解金属圆筒的发热功率P．